Из каких частей складываются числа первого десятка: пары и домики

Что такое состав числа и зачем он нужен

Состав числа до 10 — это 25 пар, из которых складываются числа от 2 до 10, если не считать нуля и не различать порядок частей. Каждая пара даёт сразу четыре примера: если 3 + 4 = 7, то 4 + 3 = 7, 7 − 3 = 4 и 7 − 4 = 3.

Отсюда главная польза. Ребёнок, который не знает, из каких частей состоит 7, решает 7 − 3 пересчётом: загибает семь пальцев и разгибает три. Ребёнок, знающий пары, видит ответ сразу. Разница кажется маленькой на одном примере, но на 20 примерах подряд она превращается в разницу между спокойной работой и усталостью. ФОП начального общего образования ставит сложение и вычитание в пределах 20 в программу 1 класса^[1], и состав чисел первого десятка — его фундамент. При этом ни ФОП, ни ФГОС не задают, за сколько секунд ребёнок должен называть пары.

Есть и вторая причина. ФОП относит переход через десяток к тому же 1 классу, а без пар до 10 не работает переход через десяток: пример 8 + 5 решают как 8 + 2 + 3, а для этого нужно знать, что 8 дополняет до десяти двойка, а 5 раскладывается на 2 и 3.

«Если ребёнок бойко считает до 100, значит, он уже понимает число». Это не подтверждается: умение называть числа по порядку не означает понимания количества. Пиаже показал, что дошкольник долго судит о числе по длине ряда предметов^[2], и знание пар появляется позже, чем счёт вслух.

Все пары для чисел от 2 до 10

У числа n ровно столько разных пар, сколько целых в половине n: у 7 — 3 пары, у 8 — 4, у 10 — 5. Таблица ниже показывает все пары без нуля.

Удобно смотреть на неё как на карту: состав числа 5 и состав числа 10 выделяйте цветом, к ним ребёнок будет возвращаться чаще всего.

Всего 25 пар. Если добавить нуль (7 = 0 + 7), их станет 34, но пары с нулём ребёнок понимает сразу, и учить их отдельно не нужно. Исследования Пиаже напоминают, что понимание количества складывается постепенно, поэтому таблицу показывают только после игр с предметами. Самые важные строки — 5 и 10: на них держатся и школьный переход через десяток, и формулы счёта на абакусе.

«Домики»: как записывают состав

«Домик» — это картинка, в которой число стоит на крыше, а этажи состоят из двух окон с его частями. В домике числа 6 три этажа: 1 и 5, 2 и 4, 3 и 3.

• Крыша. Число, которое раскладываем, например 9.
• Этажи. В каждом этаже два окна: 1 и 8, 2 и 7, 3 и 6, 4 и 5.
• Зеркальные этажи. Некоторые учителя рисуют и 8 и 1, 7 и 2 — так ребёнок видит, что от перестановки частей сумма не меняется.
• Пустое окно. Главное упражнение: в одном окне число, второе пустое, ребёнок называет недостающее.

Домик в тетради хорош тем, что превращает абстрактное «из каких частей» в картинку, которую легко вспомнить. Но картинка — только опора. Цель — чтобы через несколько недель ребёнок отвечал «до девяти от четырёх — пять» без рисунка. Гальперин описывал именно такой путь: от действия с наглядной опорой к громкой речи и дальше к действию в уме^[3].

Порядок изучения состава чисел

Состав чисел учат не по порядку от 2 до 10 подряд, а в 3 этапа: сначала числа до 5, потом от 6 до 9 через пятёрку, в конце — пары до 10.

Опора на пятёрку на втором этапе не случайна. Числа 6, 7, 8 и 9 удобно видеть как «пять и ещё»: так ребёнок не пересчитывает шесть пальцев, а показывает целую руку и один палец. Тот же принцип заложен в устройство соробана, где верхняя косточка обозначает 5. На каждый этап уходит от одной до трёх недель коротких занятий. Переходить дальше стоит, когда ребёнок отвечает на проверочный вопрос без пересчёта.

Состав числа и формулы «брат» и «друг»

Формулы счёта на абакусе — это тот же состав чисел, записанный как правило: формулы «брат» опираются на пары до 5, формулы «друг» — на пары до 10.

• Брат. Пара 1 и 4 даёт формулу +4 = +5 −1: чтобы прибавить 4, прибавляют пятёрку и убирают единицу.
• Друг. Пара 9 и 1 даёт формулу +9 = +10 −1: прибавляют десяток и убирают единицу.
• Вычитание. −3 = −5 +2 опирается на ту же пару 3 и 2, что и в домике числа 5.

Поэтому ребёнок, который твёрдо знает пары до 5 и до 10, осваивает эти формулы почти без заучивания. Все варианты собраны в статье про формулы «брат» на абакусе. Для школьной программы абакус не обязателен: в тетради те же пары работают в приёме «дополни до десяти».

Игры на пары чисел

Игра — лучший формат для пар до 10, потому что в 5–7 лет ребёнку проще повторить одно и то же 20 раз в игре, чем в столбике примеров. Эльконин называл игру ведущей деятельностью дошкольника, и для детей 5–6 лет это главный довод в её пользу.

• Сколько спряталось. 7 пуговиц на столе, часть взрослый накрывает ладонью. Видно 4 — сколько под ладонью?
• Пальцы до пяти. Взрослый показывает 3 пальца, ребёнок быстро показывает, сколько не хватает до 5.
• Пары на картах. Карты от 1 до 9 рубашкой вверх; открываем две, если сумма 10 — забираем.
• Домик с пустым окном. Взрослый рисует домик 8 и одно окно с цифрой 3, ребёнок вписывает 5.
• Мешочек. В мешке 10 кубиков, ребёнок вынимает горсть и угадывает, сколько осталось внутри.

Повторы полезнее распределять: 5 минут каждый день дают больше, чем полчаса раз в неделю^[4]. Ещё десяток вариантов для дома и дороги собран в подборке игр на счёт в уме.

Тренажёр «7 = 3 + ?»

Тренажёр показывает пример вида «7 = 3 + ?» — это и есть домик с пустым окном, только без картинки. Ребёнок вводит недостающее число и нажимает Enter.

Режимов 2: «20 примеров» без ограничения времени и «60 секунд». Для первых недель подходит первый. После ответа сразу появляется «Верно» или «Правильно: …», а в конце — точность, секунды на пример, список ошибок и совет. Последние 6 тренировок видны под кнопкой «Начать». По списку ошибок легко понять, какое число ещё не уложилось: если все промахи в восьмёрке, вернитесь к домику 8 на бумаге.

Когда заучивание пар не поможет

Заучивание пар не поможет, если ребёнок ещё не понимает, что число — это количество, или если занятия идут через силу.

• Ребёнок не может отсчитать 6 предметов из кучки. Сначала счёт предметов, пары подождут.
• После перекладывания 5 кубиков в длинный ряд он считает, что их стало больше. Понимание сохранения количества ещё складывается, нужна игра с предметами.
• Ребёнку 4 года и меньше. Пары до 10 ему рано, достаточно сравнивать «больше — меньше» и считать до 5.
• Занятие длится больше 10 минут и ребёнок отвлекается. Лучше прервать и вернуться завтра.

«Пары нужно просто вызубрить, как стихотворение». Это миф: вызубренный ряд «один и шесть, два и пять» быстро забывается и не помогает в примере, если ребёнок не видел эти части на предметах.

Чего делать нельзя

Нельзя превращать пары в зубрёжку на время: шесть правил помогают сохранить и понимание, и интерес.

• Нельзя начинать с десятки. Сначала числа до 5, потом через пятёрку.
• Не следует убирать предметы слишком рано. Картинка уходит, когда ответ звучит без пересчёта.
• Не стоит учить все 25 пар за неделю. Хватит 2–3 новых пар в день.
• Нельзя ругать за пересчёт на пальцах. Это нормальная опора, она уходит постепенно.
• Не следует пропускать вычитание. Каждая пара — это и сложение, и вычитание.
• Не стоит включать таймер в первые недели. Сначала точность, потом скорость.

Источники

[1] Приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 372 «Об утверждении федеральной образовательной программы начального общего образования».

[2] Piaget J., Szeminska A. The Child's Conception of Number. London: Routledge & Kegan Paul, 1952.

[3] Гальперин П. Я. Развитие исследований по формированию умственных действий // Психологическая наука в СССР. Т. 1. М., 1959.

[4] Cepeda N. J., Pashler H., Vul E., Wixted J. T., Rohrer D. Distributed practice in verbal recall tasks: A review and quantitative synthesis // Psychological Bulletin. 2006. Vol. 132, № 3. P. 354–380.

[5] Эльконин Д. Б. К проблеме периодизации психического развития в детском возрасте // Вопросы психологии. 1971. № 4.

Вопросы и ответы

С какого возраста учить пары до 10?

Обычно с 5–6 лет, когда ребёнок уверенно считает предметы и понимает, что их количество не меняется от перестановки. Пары до 5 можно начинать раньше, в игре с пальцами.

Нужно ли учить пары с нулём?

Отдельно не нужно. Достаточно пару раз показать: если в одной руке 7 конфет, а в другой ни одной, всего всё равно 7. Ребёнок понимает это сразу и обычно не ошибается.

Почему ребёнок знает пары, но в примерах всё равно считает на пальцах?

Знание пар ещё не связалось с примером. Попросите сначала назвать пару, а потом ответ: «Семь — это три и четыре, значит, семь минус три — четыре». Через неделю связка станет автоматической.

Сколько времени уходит на все числа до 10?

При ежедневных занятиях по 5–10 минут — обычно от нескольких недель до пары месяцев. Срок зависит от того, насколько уверенно ребёнок считал предметы до начала.

Что делать после того, как пары выучены?

Переходить к сложению и вычитанию в пределах 20 и к переходу через десяток. Как устроена программа первого года, описано в статье про счёт в первом классе.

Помогает ли абакус учить пары?

Может помочь как ещё одна наглядная опора: пятёрка на верхней косточке хорошо показывает числа от 6 до 9. Но он не обязателен, пальцы и предметы дают тот же результат.