Вся таблица на одной странице: 36 фактов, порядок изучения и тренажёр

Таблица умножения от 1 до 10 целиком

В таблице 10 строк и 10 столбцов: на пересечении строки a и столбца b стоит произведение a × b. Например, строка 7 и столбец 8 сходятся в клетке 56.

Эту же сетку можно открыть в интерактивном виде: в режиме «Смотреть» нажатие на клетку подсвечивает её строку и столбец, и сразу видно, какие два числа перемножены. Для маленьких экранов это удобнее, чем вглядываться в сто чисел сразу. Распечатанная таблица пригодится как справочник, но учить по ней, подглядывая, не стоит: об этом ниже.

Первая строка и первый столбец повторяют числа от 1 до 10, последняя строка и последний столбец — круглые десятки от 10 до 100. Всё самое интересное находится внутри, в квадрате от 2 × 2 до 9 × 9. Именно там лежат факты, которые ребёнку нужно запомнить.

Как читать таблицу и находить ответ

Чтобы найти 6 × 9, ведите палец по строке 6 до столбца 9: в клетке пересечения стоит 54. Порядок не важен — строка 9 и столбец 6 дадут то же число.

Ребёнку полезно один раз самому построить таблицу умножения на клетчатой бумаге. Первую строку он заполняет счётом по одному, вторую — прибавляя по 2, третью — по 3. На пятой-шестой строке становится понятно, что каждая строка — это шаги одинаковой длины. Так умножение связывается со сложением одинаковых чисел, а сетка перестаёт быть набором случайных ответов.

Построение таблицы своими руками хорошо ложится на поэтапное формирование умственных действий, которое описал П. Я. Гальперин. Сначала действие выполняется с материалом — клетками и числами на бумаге, затем проговаривается вслух, потом выполняется про себя. Пропускать первый этап не стоит, особенно если ребёнок только начинает умножать.

Сколько фактов на самом деле учить

Из 100 клеток учить нужно 36 фактов. Остальное объясняется тремя правилами, которые достаточно понять один раз.

Ключ ко всей таблице умножения — переместительное свойство, которое ФОП начальной школы изучает вместе с самим умножением: 3 × 8 и 8 × 3 — один и тот же факт. Если положить 3 ряда по 8 пуговиц и повернуть картинку на бок, получится 8 рядов по 3, но пуговиц столько же. Поэтому таблица симметрична относительно диагонали из левого верхнего угла в правый нижний: клетки по обе стороны от неё повторяют друг друга.

Для ребёнка эта арифметика важна психологически: исследования математической тревожности показывают, что страх перед задачей сам мешает её решать. «Сто примеров» звучит пугающе, а «тридцать шесть» — посильно. К тому же половина из 36 фактов лёгкая: столбцы на 2 и на 5 даются почти сразу. Каждый выученный факт к тому же помогает соседним. Реально трудных фактов около десятка, и все они собраны в правом нижнем углу таблицы.

Зачем таблица умножения нужна после 2 класса

Таблица умножения — это основа почти всех вычислений средней школы: от деления с остатком в 3 классе до дробей и делимости в 5–6 классе. Без неё каждое следующее действие требует лишнего пересчёта.

ФОП основного общего образования вводит в 5–6 классе обыкновенные и десятичные дроби, проценты и делимость^[1]. Сократить дробь 42/56 можно, только если видно, что оба числа есть в столбце на 7: 42 = 6 × 7, 56 = 8 × 7. Найти общий знаменатель для 1/6 и 1/8 — значит вспомнить, что 24 стоит и в строке шестёрки, и в строке восьмёрки. Всё это опирается на табличные факты.

Есть и более простая причина. На ОГЭ по математике калькулятором пользоваться нельзя, а значит, табличные произведения нужны и в 9 классе. Ребёнок, у которого таблица умножения автоматизирована, тратит внимание на условие задачи, а не на 7 × 8. Поэтому вложение в таблицу во 2 классе окупается годами, и экономить время на её закреплении не стоит.

Важно и то, что таблица — первая большая тема, где ребёнок должен не просто понять способ, а запомнить конкретные ответы. По Эльконину, у младшего школьника ведущей становится учебная деятельность, и опыт успешного запоминания таблицы во многом определяет, как ребёнок будет относиться к следующим трудным темам.

Закономерности, которые видно в таблице

В таблице есть не меньше 5 закономерностей, и каждую ребёнок может найти сам. Чем больше закономерностей он видит, тем меньше нужно запоминать вслепую.

• Симметрия. Таблица зеркальна относительно главной диагонали, потому что a × b = b × a.
• Квадраты на диагонали. 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 — произведения числа на себя.
• Соседи квадрата. Произведение чисел по обе стороны от n на единицу меньше квадрата: 7 × 9 = 63, а 8 × 8 = 64; 6 × 8 = 48, а 7 × 7 = 49.
• Чётность. Нечётных клеток всего 25: ответ нечётный, только если оба множителя нечётные.
• Повторяющиеся ответы. Число 24 встречается четыре раза: 3 × 8, 8 × 3, 4 × 6, 6 × 4. Всего в таблице 42 разных ответа.

Закономерность «соседи квадрата» особенно полезна для трудных фактов таблицы умножения. Кто помнит 8 × 8 = 64, тот получит 7 × 9 = 63 без заучивания. Кто помнит 7 × 7 = 49, вычислит 6 × 8 = 48. Это хороший пример того, как один выученный факт помогает восстановить другой.

Последние цифры по столбцам

Последние цифры ответов в каждом столбце повторяются по своему правилу. Это простая проверка: ответ с «чужим» окончанием точно неверен.

Например, ответ «7 × 8 = 54» не проходит проверку: восьмое окончание в столбце на 7 — это 6. А «8 × 6 = 46» отпадает, потому что шестое окончание у восьмёрки — 8. Проверка по окончаниям не заменяет знание таблицы, но ловит много ошибок за секунду. У девятки правило особенно наглядное, его подробно разбирает статья таблица умножения на 9 и сумма цифр.

Таблица умножения в программе 2 и 3 класса

По ФОП начального общего образования табличное умножение и деление изучают во 2 классе, а внетабличное умножение и деление в пределах 100 — в 3 классе^[2]. Значит, к концу 2 класса таблица должна быть знакома целиком.

Приказ об утверждении ФОП описывает содержание, но не скорость. Ни ФГОС начального общего образования, ни ФОП не устанавливают нормативов вроде «таблица за минуту»^[3], поэтому любые такие цифры — ориентиры авторов, а не школьные требования. Порядок столбцов внутри года тоже не закреплён: его выбирают учебник и учитель.

В 3 классе таблица становится инструментом. Пример 23 × 4 решается как 20 × 4 + 3 × 4 = 80 + 12 = 92, и если 3 × 4 вызывает заминку, страдает всё решение. Подробно эта тема разобрана в материале внетабличное умножение и деление в 3 классе.

В каком порядке учить столбцы

Удобный порядок — от лёгкого к трудному: 1 и 10, затем 2 и 5, потом 3 и 4, затем 9 и 6, в конце 7 и 8. Каждый следующий столбец опирается на уже выученные.

1. 1 и 10. Правила, а не факты: число остаётся собой или получает ноль на конце.
2. 2 и 5. Удвоение и половина от десяти раз. Обе закономерности понятны с первого занятия.
3. 3 и 4. Тройка — удвоить и добавить ещё раз, четвёрка — удвоить дважды.
4. 9 и 6. Девятка — десять раз минус один, шестёрка — пять раз плюс один.
5. 7 и 8. Почти все их факты уже знакомы по перестановке; новых остаётся пять: 7 × 7, 7 × 8, 7 × 9, 8 × 8, 8 × 9.

Этот порядок — редакционная рекомендация, а не требование ФОП. Его смысл в том, что к трудным числам ребёнок подходит, уже зная большую часть их фактов. Семёрка, которую считают самым трудным столбцом, к этому моменту содержит лишь три новых ответа. Как разложить этот порядок на недели и занятия, описано в статье как выучить таблицу умножения за 4 недели.

Трудные факты и опоры для них

Труднее всего запоминаются 8 фактов из правого нижнего угла: 6 × 7, 6 × 8, 6 × 9, 7 × 7, 7 × 8, 7 × 9, 8 × 8 и 8 × 9. Для каждого есть опора.

Учить трудные факты полезнее парами с теми, с которыми их путают: 7 × 8 = 56 рядом с 6 × 9 = 54, а 6 × 7 = 42 рядом с 6 × 8 = 48. Сравнение показывает, почему ответы разные, и путаница исчезает быстрее, чем от многократного повторения каждого факта отдельно. Подробно самый трудный столбец разобран в статье таблица умножения на 7.

Умножение и деление: треугольник фактов

Деление в пределах таблицы — это умножение, прочитанное наоборот: 56 : 8 = 7, потому что 8 × 7 = 56. Отдельно учить деление не нужно.

Удобно работать с «треугольником фактов»: числа 7, 8 и 56 связаны четырьмя записями — 7 × 8, 8 × 7, 56 : 7 и 56 : 8. Ребёнок называет все четыре, и один факт закрепляется с нескольких сторон. Если ошибки идут только в делении, значит, умножение помнится как цепочка, а обратный путь не тренировался. Подробнее — в материале таблица деления и треугольники фактов.

Интерактивный тренажёр: «Смотреть» и «Проверить себя»

Интерактивный тренажёр 10 × 10 работает в 2 режимах. «Смотреть» подсвечивает строку и столбец выбранной клетки, «Проверить себя» прячет 10 случайных клеток и предлагает заполнить их.

Режим «Смотреть» нужен на этапе знакомства: ребёнок нажимает на клетку и видит, какие числа перемножены. Можно искать закономерности: нажать на все квадраты по диагонали или на все клетки с ответом 24. Режим «Проверить себя» — это самопроверка: 10 пустых клеток, ответы вводятся с клавиатуры, кнопка «Проверить» показывает, где ошибки.

Самопроверка полезнее разглядывания, и это не только мнение педагогов. Извлечение ответа из памяти закрепляет лучше, чем повторное чтение, — это показали Roediger и Karpicke^[4]. Поэтому основное время стоит проводить во втором режиме, а первый оставить для объяснения. Результаты всех тренажёров сохраняются в браузере и видны на странице прогресса по тренажёрам.

Как понять, что факты выучены

Ориентир — 9 верных ответов из 10 в смешанной серии по всем столбцам, два-три занятия подряд, без пальцев и подсказок. Это редакционный критерий, программа такого числа не задаёт.

Важно, чтобы проверка шла вразбивку. Ответы по порядку («семью один — семь, семью два — четырнадцать…») показывают знание цепочки, а не отдельных фактов. В исследовании Rohrer и Taylor перемешанные задачи дали лучший итоговый результат, чем блоки однотипных^[5], и для проверки это тоже верно: вразбивку видно, что ребёнок знает на самом деле.

Скорость — второй шаг. Когда точность устойчива, можно добавить короткие серии на время, но сравнивать стоит ребёнка с ним самим неделю назад. Один и тот же темп у разных детей не означает одинакового знания, а официальных норм нет.

Мифы о таблице умножения

Вокруг умножения много убеждений, которые не выдерживают проверки. Четыре самых частых — ниже, с опровержением.

«Есть официальный норматив, за сколько секунд нужно отвечать все факты». Такого норматива не существует: стандарт и программа описывают содержание обучения, а не скорость ответа.

«Все факты можно выучить за один вечер». Это не подтверждается: распределённые во времени повторения дают лучшее долговременное запоминание, чем те же повторения подряд, а заученное за раз быстро забывается.

«Учить нужно все 100 клеток». Это миф: с учётом перестановки множителей и правил для 1 и 10 на память остаётся 36 фактов.

«Если ребёнок путает 56 и 54, у него плохая память». Это не подтверждается: путаница похожих ответов типична и исправляется сравнением пар, а не упрёками.

Когда заучивание не поможет

Заучивание не поможет, если трудность лежит не в памяти, а в навыках, на которые опираются ответы. Вот пять таких ситуаций.

• Ребёнок не понимает смысл умножения. Если 3 × 4 для него не «три раза по четыре», а просто символы, сначала нужны предметы и рисунки; на это уходит 1–2 недели.
• Сложение в пределах 20 даётся с ошибками. Если 8 + 7 занимает больше 5 секунд, удвоение и приёмы не сработают.
• Ребёнку 5–6 лет и он не ходит в школу. Знакомство с равными группами полезно, заучивание фактов рано.
• До контрольной 1 день. За такой срок факты не закрепятся; лучше повторить опоры для трудных пар.
• Точность ниже 50% после 4 недель регулярных занятий. Стоит обсудить ситуацию с учителем: возможно, нужен другой подход.

Чего нельзя делать, когда ребёнок учит таблицу

Нельзя превращать занятия в повод для конфликта: тревога у учеников 1–2 класса уже встречается и связана с более низкими результатами, как показало исследование Ramirez и соавторов. Вот правила, которые берегут и знания, и отношения.

• Нельзя учить по распечатке, подглядывая. Ответ, который всегда перед глазами, не переходит в память.
• Не стоит заниматься час подряд. Короткие занятия в разные дни дают больше.
• Не следует проверять только по порядку. Цепочка создаёт иллюзию знания.
• Нельзя включать таймер с первых дней. Сначала точность, потом скорость.
• Не стоит давать все приёмы сразу. Один способ на занятие запоминается лучше.
• Нельзя сравнивать с одноклассниками. Норм скорости нет, а темп у детей разный.

Источники

[1] Приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 370 «Об утверждении федеральной образовательной программы основного общего образования».

[2] Приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 372 «Об утверждении федеральной образовательной программы начального общего образования».

[3] Приказ Минпросвещения России от 31.05.2021 № 286 «Об утверждении федерального государственного образовательного стандарта начального общего образования».

[4] Roediger H. L., Karpicke J. D. Test-enhanced learning: Taking memory tests improves long-term retention // Psychological Science. 2006. Vol. 17, № 3. P. 249–255.

[5] Rohrer D., Taylor K. The shuffling of mathematics problems improves learning // Instructional Science. 2007. Vol. 35, № 6. P. 481–498.

[6] Гальперин П. Я. Развитие исследований по формированию умственных действий // Психологическая наука в СССР. Т. 1. М., 1959.

[7] Эльконин Д. Б. К проблеме периодизации психического развития в детском возрасте // Вопросы психологии. 1971. № 4.

[8] Cepeda N. J., Pashler H., Vul E., Wixted J. T., Rohrer D. Distributed practice in verbal recall tasks: A review and quantitative synthesis // Psychological Bulletin. 2006. Vol. 132, № 3. P. 354–380.

[9] Ramirez G., Gunderson E. A., Levine S. C., Beilock S. L. Math anxiety, working memory, and math achievement in early elementary school // Journal of Cognition and Development. 2013. Vol. 14, № 2. P. 187–202.

Вопросы и ответы

Нужно ли знать умножение на 0?

В сетке 10 × 10 нуля нет, но правило стоит объяснить: любое число, умноженное на 0, даёт 0. Ноль раз по семь — это ничего. Тогда примеры вроде 0 × 8 не будут вызывать вопросов.

Почему 7 × 8 и 8 × 7 — это одно и то же?

Семь рядов по восемь клеток и восемь рядов по семь клеток — один прямоугольник, повёрнутый на бок. Клеток в нём одинаково, 56. Это переместительное свойство, и именно оно сокращает число фактов почти вдвое.

Сколько времени уходит на все 36 фактов?

При занятиях по 10 минут почти каждый день обычно хватает 4–6 недель. Это ориентир, а не норма: кто-то справляется быстрее, кому-то нужно больше времени на трудные пары. Регулярность важнее длительности занятий.

Ребёнок отвечает по порядку, а вразбивку теряется. Что делать?

Это значит, что он достраивает ответ цепочкой. Перейдите на карточки в случайном порядке и режим «Проверить себя». Через несколько занятий ответы начнут находиться сразу, без пересчёта.

Можно ли считать на пальцах?

На этапе знакомства — да, это наглядная опора. Есть способы для девятки и для чисел от 6 до 10, они разобраны в материале умножение на пальцах. Через несколько недель опору стоит убирать.

Зачем учить наизусть, если есть калькулятор?

На уроках начальной школы калькулятор не используют, а на ОГЭ по математике он запрещён. Кроме того, без быстрых ответов тормозят внетабличное умножение, дроби и прикидка результата в задачах.

Что делать, если ребёнок плачет при виде примеров?

Сделайте паузу на несколько дней и вернитесь с самых лёгких столбцов — 2 и 5, чтобы первые занятия были успешными. Уберите таймер и оценки. Сравнивайте его успехи только с его же прошлой неделей.

Какие числа в сетке повторяются чаще всего?

Числа 6, 8, 10, 12, 18, 20, 24, 30 и 40 встречаются по четыре раза. Например, 12 — это 2 × 6, 6 × 2, 3 × 4 и 4 × 3. Разных ответов в сетке всего 42.

Нужно ли учить квадраты отдельно?

Квадраты от 2 × 2 до 9 × 9 — восемь фактов на диагонали, и их удобно учить группой: 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81. Квадраты чисел больше 10 — отдельная тема, она разобрана на странице таблица квадратов от 11 до 25.

Какой результат в режиме «Проверить себя» считать хорошим?

Хорошо, если из 10 пустых клеток верно заполнено 9 или 10 несколько раз подряд. Если ошибки повторяются в одних и тех же клетках, это и есть список фактов для следующего занятия.