Быстрый счёт в уме: приёмы сложения, умножения и проверки ответа

Почему приёмы быстрого счёта работают

Приёмы быстрого счёта — это не фокусы, а применение свойств арифметических действий: переместительного, сочетательного и распределительного. Использовать свойства действий для удобства вычислений учат уже в начальной школе по ФОП НОО^[1].

Возьмём умножение на 9. Число 9 — это 10 − 1, поэтому 37 × 9 = 37 × 10 − 37 = 370 − 37 = 333. Здесь работает распределительный закон: умножить на разность можно, умножив на каждое число отдельно. Умножение на 5 опирается на сочетательный закон: 5 = 10 : 2, и 48 × 5 = 48 × 10 : 2 = 240. Каждый приём на этой странице раскладывается в такую цепочку, и её полезно хотя бы раз проговорить, прежде чем считать быстро.

Понимание, почему приём работает, важнее самого приёма. Ребёнок, который знает, что 9 = 10 − 1, сам придумает умножение на 99 или на 19. Ребёнок, который выучил «приписать ноль и отнять число» без объяснения, ошибётся на первом же нестандартном примере. Поэтому у каждой карточки тренажёра есть кнопка «Как решать»: она показывает шаги, а не только ответ. Быстрый счёт без понимания держится до первой контрольной, а с пониманием — годами.

Не стоит ждать от приёмов большего, чем они дают. Исследования переноса навыков показывают, что тренировка одного вида задач улучшает в основном именно эти задачи^[5]. Приёмы быстрого счёта ускоряют вычисления, но не заменяют умение решать задачи и не развивают «математическое мышление» само по себе. Для школьника это нормальная цель: быстрые и точные вычисления экономят время на контрольной и снижают число случайных ошибок.

«Существуют секретные системы, которые позволяют мгновенно умножать любые числа в уме». Таких систем не существует: все приёмы опираются на одни и те же свойства действий и работают только для чисел определённого вида — на 5, на 9, на 11, близких к круглым.

Сложение и вычитание через круглые числа

Чтобы сложить или вычесть число, близкое к круглому, сначала действуют с круглым числом, а потом исправляют разницу: 47 + 38 = 47 + 40 − 2 = 85. Это самый полезный приём быстрого счёта, потому что подходит к большинству примеров 2–4 класса.

1. Найдите круглое число рядом: 38 близко к 40, разница 2.
2. Выполните действие с круглым числом: 47 + 40 = 87.
3. Исправьте разницу: прибавили на 2 больше, значит отнимаем 2 — получается 85.

При вычитании поправка идёт в обратную сторону, и именно здесь чаще всего ошибаются. 124 − 68 = 124 − 70 + 2 = 56: отняли на 2 больше, поэтому 2 возвращаем. Если ребёнок путает знак поправки, полезно проговаривать вслух: «отняли лишнее — вернём». Проговаривание переводит действие во внутренний план, как описывает теория поэтапного формирования умственных действий^[3].

Тот же приём работает с деньгами и временем: 1 990 ₽ + 2 990 ₽ удобно считать как 2 000 + 3 000 − 20. Поэтому его стоит показывать ребёнку на покупках — там он сразу видит пользу. В тренажёре на это две карточки: «Сложение через круглое» и «Вычитание через круглое». Для быстрого счёта в магазине этого приёма хватает почти всегда.

Умножение на 5, 25 и деление на 5

Умножение на 5 — это умножение на 10 и деление на 2, умножение на 25 — деление на 4 и умножение на 100. Деление на 5 обратно умножению: умножить на 2 и разделить на 10.

С нечётными числами умножение на 5 тоже работает, просто половина получается с пятёркой на конце: 37 × 5 = 370 : 2 = 185. Для умножения на 25 удобнее числа, которые делятся на 4; если не делятся, можно разделить на 2 дважды: 26 × 25 = 26 : 4 × 100 = 6,5 × 100 = 650. Такие примеры пятиклассник решает уверенно, а третьекласснику лучше давать числа, кратные 4.

Умножение на 9 и на 11

Умножение на 9 — это умножение на 10 минус само число, а умножение двузначного числа на 11 — это запись суммы его цифр между ними: 36 × 11 = 396, потому что 3 + 6 = 9.

Для 11 есть одна ловушка: сумма цифр может быть больше 9. Тогда единицу переносят в старший разряд: 78 × 11 = 7 (7 + 8 = 15) 8 → 858. Объяснение то же, что и у остальных приёмов: 78 × 11 = 78 × 10 + 78 = 780 + 78, и при сложении в столбик как раз получается сумма цифр в середине. Если показать ребёнку это сложение один раз, перенос перестаёт быть загадкой.

• × 9: 54 × 9 = 540 − 54 = 486.
• × 99: 23 × 99 = 2 300 − 23 = 2 277.
• × 11 без переноса: 43 × 11 = 4 (7) 3 = 473.
• × 11 с переносом: 67 × 11 = 6 (13) 7 → 737.

Квадрат числа, оканчивающегося на 5

Чтобы возвести в квадрат число на 5, число десятков умножают на следующее за ним и приписывают 25: 35² = 3 × 4 = 12, приписываем 25 — получается 1 225.

Приём легко доказать. Число на 5 можно записать как 10a + 5, где a — число десятков. Его квадрат равен 100a² + 100a + 25, то есть 100 × a × (a + 1) + 25. Поэтому ответ всегда оканчивается на 25, а перед ними стоит произведение a × (a + 1). Для 65² это 6 × 7 = 42 и 4 225, для 95² — 9 × 10 = 90 и 9 025. Доказательство через формулу подходит для 7 класса — по ФОП основного общего образования формулы сокращённого умножения изучают именно тогда, а младшему школьнику достаточно проверить правило на трёх-четырёх примерах умножением в столбик.

Как проверить ответ: прикидка и деление на 9

Проверить ответ можно двумя способами: прикидкой — округлить числа и сравнить порядок результата, и делением на 9 — сравнить остатки от деления на 9 у исходных чисел и у ответа.

Прикидка ловит грубые ошибки: 48 × 52 никак не может быть 24 960, ведь 50 × 50 = 2 500. Проверка делением на 9 тоньше. Остаток от деления числа на 9 равен остатку от деления на 9 суммы его цифр — на этом свойстве построен признак делимости на 9, который изучают по ФОП в 5–6 классе. Для 48 сумма цифр 12, остаток 3; для 52 — 7. Произведение остатков 3 × 7 = 21 даёт остаток 3. У правильного ответа 2 496 сумма цифр 21, остаток тоже 3 — совпало.

У проверки делением на 9 есть граница: она находит ошибку в одной цифре, кроме замены 0 на 9 и обратно, но не замечает перестановку цифр — 2 496 и 2 946 дают одинаковый остаток. Поэтому её стоит сочетать с прикидкой. Обе проверки занимают меньше 10 секунд и приучают ребёнка не сдавать ответ, не оценив его.

Быстрый счёт по классам: что изучать когда

Новые способы стоит вводить по одному, когда ребёнок уже знает лежащее в их основе действие: сложение через круглые числа — со 2 класса, умножение на 5, 9 и 11 — с 3–4 класса, квадраты чисел на 5 и деление на 9 — с 5 класса.

Темп — один приём в неделю: 3–4 дня с тренажёром по 5 минут, затем правило включается в обычную разминку. Если ребёнку нужна именно программа своего класса, а не отдельные правила, используйте тренажёр устного счёта по классам — в нём примеры подобраны по годам обучения. ФГОС начального общего образования относит умение выполнять арифметические действия устно и письменно к предметным результатам по математике^[2], и эти правила помогают как раз с устной частью этого результата.

Когда правила счёта мешают

Правила мешают в 4 ситуациях — когда их вводят раньше базового навыка или вместо понимания. Нельзя торопиться: в этих случаях лучше отложить новые способы.

• Ребёнок не знает таблицу умножения на 2, 5 и 10. Правило «× 5 = × 10 : 2» опирается на эти действия.
• Ребёнку меньше 8 лет. Цепочка из двух действий перегружает внимание, полезнее состав числа и абакус.
• В одной неделе вводят больше 2 правил. Правила начинают путаться: «к 11 приписать» превращается в «к 9 приписать».
• Точность обычных вычислений ниже 90%. Правило ускоряет устойчивый навык, а неустойчивый только запутывает.

Новое правило должно лежать в зоне ближайшего развития, как её описывал Выготский: ребёнок справляется с ним с небольшой подсказкой, но не без базового навыка. Для младших детей наглядная опора важнее правил: им полезнее набирать числа на онлайн-абакусе с разрядами и видеть, из чего состоит число. Абакус и правила не конкурируют — это разные ступени одного пути, о котором подробно рассказывает обзор ментальной арифметики и её возможностей.

«Если выучить эти правила, таблицу умножения можно не учить». Это не так: каждое из них опирается на табличное умножение и умножение на 10, и без них цепочка из двух действий не складывается.

Чего делать нельзя

Нельзя давать способ как готовое правило без объяснения — так он забывается через неделю. Шесть правил, которые помогают новым способам закрепиться.

• Нельзя вводить приём без доказательства. Хотя бы раз покажите, почему 9 = 10 − 1 даёт верный ответ.
• Не следует учить больше одного-двух правил в неделю. Иначе правила смешиваются.
• Не стоит применять приём там, где он не нужен. 12 × 5 проще посчитать напрямую, чем через 120 : 2.
• Не допускается отменять запись решения в тетради. На уроке учитель оценивает ход решения, а не только ответ.
• Нельзя сдавать ответ без проверки прикидкой или делением на 9, когда пример трудный.
• Не стоит заучивать правила ради скорости соревнований, если не освоена таблица умножения: сначала база, потом ускорение.

Источники

[1] Приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 372 «Об утверждении федеральной образовательной программы начального общего образования».

[2] Приказ Минпросвещения России от 31.05.2021 № 286 «Об утверждении федерального государственного образовательного стандарта начального общего образования».

[3] Гальперин П. Я. Развитие исследований по формированию умственных действий // Психологическая наука в СССР. Т. 1. М., 1959.

[4] Выготский Л. С. Мышление и речь. М., 1934.

[5] Sala G., Gobet F. Does far transfer exist? Negative evidence from chess, music, and working memory training // Current Directions in Psychological Science. 2017. Vol. 26, № 6. P. 515–520.

Вопросы и ответы

Какой приём учить первым?

Сложение и вычитание через круглые числа — он подходит к большинству школьных примеров со 2 класса и не требует таблицы умножения.

Как умножить на 11 трёхзначное число?

Крайние цифры остаются на месте, а между ними пишут суммы соседних цифр: 123 × 11 = 1 (1 + 2) (2 + 3) 3 = 1 353. При сумме больше 9 единицу переносят влево, как и у двузначных чисел.

Работает ли «× 5» с десятичными дробями?

Да: 4,6 × 5 = 46 : 2 = 23. Свойства действий одинаковы для натуральных чисел и дробей, поэтому все правила на этой странице переносятся на десятичные дроби.

Почему проверка делением на 9 не нашла мою ошибку?

Она не замечает перестановку цифр и замену 0 на 9. Если вы переставили цифры местами, остаток не изменится — поэтому проверку стоит дополнять прикидкой.

Пригодятся ли приёмы на ОГЭ?

Отдельно их не проверяют, но на экзамене калькулятор запрещён правилами проведения ОГЭ, которые утверждает Минпросвещения вместе с Рособрнадзором, и быстрые вычисления экономят время на задачах второй части.

Сколько времени уходит на один приём?

Объяснение занимает 5–10 минут, закрепление — 3–4 дня по 5 минут на тренажёре. После этого правило включают в обычную разминку, чтобы он не забылся.