Формулы «брат» через пятёрку: когда применять и как отработать

Что такое формулы брата и откуда название

«Братья» — это пары чисел, которые вместе дают 5: 1 и 4, 2 и 3. Формула брата заменяет прибавление числа на прибавление пятёрки и вычитание его «брата».

Возьмём спицу, на которой набрано 3: три нижние косточки у перекладины, свободна только одна косточка. Нужно прибавить 2. Двух свободных единиц нет, зато пятёрка наверху отведена. Ребёнок опускает пятёрку, и на спице становится 3 + 5 = 8. Это на 3 больше, чем нужно, поэтому три единицы убирают. Получаем формулу брата для двойки: +2 = +5 −3. Тройка здесь — «брат» двойки, потому что 2 + 3 = 5.

Так устроены все восемь правил: четыре для сложения и четыре для вычитания. Запоминать их как отдельные факты не нужно, если ребёнок уверенно знает состав числа 5. Именно поэтому формулы брата идут в программе ментальной арифметики сразу после «просто» и перед формулами друга. Они не требуют переноса на соседнюю спицу, и вся работа видна на одном разряде.

Для ребёнка 6–7 лет это первое знакомство с идеей «заменить число удобной суммой». В федеральной программе начальной школы похожая мысль появляется в 1 классе, когда сложение в пределах 20 с переходом через десяток выполняют разложением второго слагаемого^[1]. Абакус делает ту же идею видимой: пятёрка физически опускается, единицы физически уходят.

Сложение через пятёрку: все четыре правила

При сложении формула брата нужна, если на спице стоит цифра от 1 до 4, а сумма получается от 5 до 8. Таких сочетаний ровно 10, и все они собраны в таблице.

Закономерность видна сразу: чем больше прибавляем, тем больше стартовых цифр требуют помощи пятёрки. Прибавление единицы через пятёрку бывает только в одном случае — к четвёрке, а прибавление четвёрки — в четырёх. Если на спице уже стоит пятёрка (цифры 5–9), эта формула не подходит: верхняя косточка занята, и тогда работает «просто» или формула друга.

Разберём 4 + 3 на одной спице. Нижних свободных косточек нет: последняя свободная косточка ушла на четвёрку. Ребёнок говорит: «плюс три — плюс пять, минус два», опускает пятёрку и убирает две единицы. На спице остаются пятёрка и две нижние косточки, то есть 7. Ответ сходится: 4 + 3 = 7.

Вычитание через пятёрку: четыре обратных правила

Вычитание по формуле брата нужно, если на спице цифра от 5 до 8, а нижних косточек меньше, чем надо отнять. Тогда убирают пятёрку и возвращают «брата»: −3 = −5 +2.

Здесь тоже 10 сочетаний, а вместе со сложением — 20 ситуаций, в которых без пятёрки не обойтись. Интересная деталь: в правом столбце таблицы последний пример каждой строки даёт 4. Это не совпадение. Вычитание через пятёрку всегда «опускает» спицу из верхней половины (5–9) в нижнюю (0–4), а самый большой результат в нижней половине — четвёрка.

Возьмём 6 − 2. На спице пятёрка и одна нижняя косточка. Убрать две единицы нельзя: внизу только одна. Отводим пятёрку и добавляем три нижние косточки. На спице 1 + 3 = 4, и 6 − 2 = 4.

Как понять, что нужна формула брата

Чтобы выбрать формулу, ребёнок задаёт себе два вопроса: хватает ли нижних косточек и свободна ли пятёрка. Ответы «не хватает» и «свободна» означают формулу брата при сложении.

1. Посмотри на нижние косточки. Если свободных единиц столько, сколько прибавляем, это «просто»: 1 + 2, 6 + 3.
2. Посмотри на пятёрку. Если единиц не хватает, а пятёрка отведена, работает правило через пятёрку: 3 + 4, 2 + 3.
3. Если пятёрка уже у перекладины, а единиц не хватает, нужен десяток с соседней спицы — это уже другая группа правил.
4. Произнеси формулу вслух до движения: «плюс четыре — плюс пять, минус один».

Проговаривание — не прихоть педагога. В теории поэтапного формирования умственных действий П. Я. Гальперина действие сначала выполняют с предметом, потом сопровождают громкой речью, затем речью про себя, и только после этого оно переходит во внутренний план^[2]. Гальперин подчёркивал, что этап нельзя сокращать, пока действие не стало безошибочным. Пропуск речевого этапа — частая причина, по которой ребёнок двигает косточки правильно, но без абакуса теряется.

В многозначных числах формулу выбирают отдельно для каждого разряда, слева направо. Пример 34 + 21: на спице десятков 3 + 2 — пятёрка свободна, единиц не хватает, значит +5 −3, получаем 5. На спице единиц 4 + 1 — снова помощь пятёрки, +5 −4, получаем 5. Ответ 55. Пример 76 − 32: десятки 7 − 3 по правилу −5 +2 дают 4, единицы 6 − 2 по правилу −5 +3 дают 4. Ответ 44.

Какими пальцами работать

Если ребёнок с первых недель двигает косточки правильными пальцами, правило закрепляется как одно движение, а не как цепочка из двух. Указательный палец отвечает за пятёрку и за опускание нижних косточек, большой поднимает нижние.

При сложении, например +3 = +5 −2, обе части выполняет указательный: опускает пятёрку к перекладине и тем же ходом отводит две нижние косточки вниз. При вычитании, например −3 = −5 +2, движение парное: указательный поднимает пятёрку, а большой одновременно придвигает две нижние. Сначала ребёнок делает это по очереди, потом — одним «щипком». Подробно техника разобрана в статье о постановке пальцев на соробане.

«Формулы брата нужно вызубрить как таблицу». Это миф: восемь правил выводятся из четырёх фактов состава пятёрки — 1 + 4, 2 + 3, 3 + 2, 4 + 1. Ребёнок, который знает эти пары, восстановит любое правило за секунду. Именно на этот состав опирается и ФОП начального общего образования, где сложение в пределах 10 строится на разложении чисел.

Упражнения на три недели

Три недели по 10 минут 4–5 раз в неделю обычно хватает, чтобы правила через пятёрку стали автоматическими. Каждая неделя добавляет один новый шаг. Нормативов скорости для таких упражнений не существует: ни ФГОС, ни ФОП их не задают, поэтому темп определяет точность ребёнка.

Проверим цепочку из второй недели: 2 + 2 = 4 (просто), 4 + 3 = 7 (через пятёрку), 7 − 4 = 3 (−5 +1), 3 + 2 = 5 (+5 −3). Ответ 5. Такие цепочки полезны тем, что в них правило встречается вперемешку с «просто», и ребёнок учится не применять его там, где оно не нужно.

Перемешивание типов задач оправдано и с точки зрения исследований обучения. В эксперименте Rohrer и Taylor ученики, решавшие задачи разных типов вперемешку, на итоговой проверке справились лучше, чем те, кто решал однотипные блоки^[3]. Исследование проводили на школьных задачах, но принцип переносится и на абакус. Поэтому со второй недели не стоит давать 20 примеров подряд на одно правило: лучше 5 на него и 5 «простых» вперемешку. Для отработки подойдёт онлайн-абакус с подсказкой формулы по разрядам в режиме «Пример» с выбором «брат».

Типичные ошибки и как их увидеть по ответу

Ошибка в этих правилах почти всегда даёт ответ, который отличается от верного на 5 или на «брата» прибавляемого числа. По разнице легко понять, какой шаг пропущен.

Последняя строка — признак того, что ребёнок не знает состав пятёрки, а не само правило. Каждую верхнюю косточку и каждую нижнюю косточку ребёнок двигает верно, но берёт не ту пару. Лечится это не повторением формул, а парами «сколько не хватает до 5» на карточках или пальцах. Подробнее о «домиках» и парах чисел — в материале про состав числа до 10.

«Если ребёнок решает быстро, правило усвоено». Скорость сама по себе этого не подтверждает: быстрый ответ можно получить пересчётом на пальцах. Признак усвоения — ребёнок называет формулу разряда до движения и не ошибается в цепочке из 5 чисел.

Когда такая тренировка не подходит

Отработка правил через пятёрку не подходит, если у ребёнка нет базы для них или он уже прошёл этот этап. В четырёх случаях лучше заняться другим.

• Ребёнок путает пары, дающие 5, чаще 1 раза из 10. Сначала состав числа на пальцах и предметах.
• Ребёнок набирает цифры 6–9 с ошибками. Без уверенного набора пятёрки правило превращается в угадывание.
• Ребёнку меньше 5 лет. Двухшаговое действие в этом возрасте даётся трудно, полезнее игры со счётом предметов.
• Цепочки из 7 чисел решаются без ошибок уже 2 недели. Задерживаться не нужно: пора переходить к правилам через десяток в материале о формулах друга.

Чего делать нельзя

Нельзя превращать этот этап в гонку: здесь закладывается движение, на котором держатся все следующие правила. Шесть ограничений помогут не испортить основу.

• Нельзя давать правило без состава пятёрки. Заученная строка «+2 = +5 −3» без понимания быстро забывается.
• Не следует включать таймер в первую неделю. Пока движение не устоялось, спешка закрепляет ошибки.
• Не стоит решать только однотипные примеры. Ребёнок привыкает, что всегда нужна пятёрка, и применяет её даже к 1 + 2.
• Нельзя разрешать пересчёт косточек по одной. Правило выполняется одним движением, а не счётом «пять, шесть, семь».
• Не следует подсказывать ответ. Подсказывайте вопрос: «хватает ли единиц? свободна ли пятёрка?»
• Не стоит переходить к счёту в уме, пока ребёнок не решает цепочки на настоящем инструменте вслух и без пауз.

Источники

[1] Приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 372 «Об утверждении федеральной образовательной программы начального общего образования».

[2] Гальперин П. Я. Развитие исследований по формированию умственных действий // Психологическая наука в СССР. Т. 1. М., 1959.

[3] Rohrer D., Taylor K. The shuffling of mathematics problems improves learning // Instructional Science. 2007. Vol. 35, № 6. P. 481–498.

[4] Cepeda N. J., Pashler H., Vul E., Wixted J. T., Rohrer D. Distributed practice in verbal recall tasks: A review and quantitative synthesis // Psychological Bulletin. 2006. Vol. 132, № 3. P. 354–380.

[5] Hatano G., Miyake Y., Binks M. G. Performance of expert abacus operators // Cognition. 1977. Vol. 5, № 1. P. 47–55.

Вопросы и ответы

Почему «брат», а не просто «пятёрка»?

Так называют число, которое дополняет данное до 5. У единицы брат — четвёрка, у двойки — тройка. Название помогает ребёнку запомнить, что второе число в правиле всегда берут из пары, дающей пять.

Сколько времени уходит на освоение?

Обычно две-три недели коротких занятий по 10 минут. Распределённая практика закрепляет навык лучше, чем один длинный урок^[4], поэтому четыре подхода в неделю полезнее одного часового занятия в выходные.

Ребёнок решает на абакусе, но в уме сбивается. Что делать?

Вернуть громкое проговаривание. Пусть решает пример на инструменте и называет каждое правило, потом то же самое с закрытыми глазами, двигая пальцами в воздухе. Без речевого этапа переход в уме обычно не складывается.

Нужно ли учить вычитание отдельно от сложения?

Лучше начать со сложения и через неделю добавить вычитание. Обратные правила зеркальны: пятёрку не опускают, а поднимают, единицы не убирают, а добавляют. Когда ребёнок видит эту симметрию, вычитание осваивается быстрее.

Можно ли учить эти правила без настоящего абакуса?

Можно начать с экранной версии, но движение пальцев закрепляется только на настоящем инструменте. Для дома достаточно соробана на 7–13 спиц; онлайн-версия удобна для самопроверки и коротких подходов. В исследовании Hatano опытные операторы считали в уме, опираясь на образ счётов^[5], а такой образ строится из реальных движений.

Что идёт после этих восьми правил?

Правила через десяток, а затем комбинированные случаи, где нужны оба помощника сразу, например 6 + 7 или 13 − 8. Порядок разобран в статье о комбинированных формулах.