Сложение и вычитание в пределах 20 с переходом: способы и ошибки

Какие примеры относятся к переходу через десяток

На сложение однозначных чисел с переходом приходится 36 примеров: сумма от 11 до 18, оба слагаемых от 2 до 9. Если не различать порядок слагаемых, остаётся 20 разных пар.

Ни ФГОС, ни ФОП не задают, за сколько секунд их нужно решать: в документах описано само умение складывать и вычитать в пределах 20.

Каждому примеру на сложение соответствуют примеры на вычитание: из 9 + 4 = 13 следуют 13 − 4 = 9 и 13 − 9 = 4. Поэтому таблица выше — это вся «табличная» часть сложения и вычитания в пределах 20. По ФОП начального общего образования переход через десяток входит в программу 1 класса^[1], а во 2 классе он становится частью сложения двузначных чисел: 47 + 6 решают тем же приёмом.

Суммы, равные ровно 10, к переходу не относятся: 7 + 3 = 10 опирается только на состав десятка. Но именно эти пары нужны для всех способов ниже. Если ребёнок не называет сразу, сколько не хватает до 10 от 6 или 7, начинать стоит с них — об этом материал про состав чисел первого десятка.

«Таблицу сложения с переходом надо просто выучить наизусть, способы не нужны». Это не подтверждается практикой: выученный без способа факт забывается и не помогает в примере 47 + 6, а способ «дополни до 10» работает на любых числах.

Способ «дополни до 10»

Способ «дополни до 10» — это сложение в 3 шага: узнать, сколько не хватает первому числу до десяти, разложить второе число на эту часть и остаток, прибавить остаток к 10.

1. Сколько до десяти? 7 + 5: у семи до десяти не хватает 3.
2. Разложить второе число. 5 — это 3 и 2.
3. Досчитать. 7 + 3 = 10, 10 + 2 = 12.

Ещё пример: 9 + 4. До десяти не хватает 1, четвёрка раскладывается на 1 и 3, ответ 13. На первых порах шаги проговаривают вслух и даже записывают «дугой» под вторым слагаемым. Гальперин описывал такой путь для любого умственного действия: опора и громкая речь, затем речь про себя, затем действие в уме^[2]. Через 2–3 недели ребёнок сокращает рассуждение до «до десяти три, ещё два — двенадцать», а позже отвечает сразу.

Сложение с переходом через десяток этим способом не требует заучивания фактов. Способ требует двух знаний: пары до 10 и разложения малых чисел. Если одно из них хромает, дополнение до 10 превращается в мучение, и ребёнок возвращается к пересчёту по пальцам. Это сигнал не к тренировке перехода, а к возврату на шаг назад.

Перестановка: прибавляй к большему

Если первое слагаемое меньше второго, удобно их поменять местами: 3 + 9 = 9 + 3. Дополнить до 10 девятку проще, чем тройку, — нужна всего единица.

• 4 + 8. Считаем 8 + 4: до десяти 2, остаётся 2, ответ 12.
• 2 + 9. Считаем 9 + 2: до десяти 1, остаётся 1, ответ 11.
• 5 + 7. Считаем 7 + 5: до десяти 3, остаётся 2, ответ 12.

Перестановка перед дополнением до 10 сокращает число трудных случаев почти вдвое: из 36 примеров с переходом самостоятельных остаётся 20. Первоклассник обычно сам замечает, что 4 + 8 и 8 + 4 дают одно и то же, — стоит только спросить.

Ещё три способа сложения

Кроме дополнения до 10, есть 3 способа, которые удобны для отдельных пар: через пятёрку, через удвоение и через десяток для девятки. Выбирать способ ребёнок может сам, если умеет его объяснить.

Выготский писал о задачах, которые ребёнок решает с подсказкой взрослого, и выбор способа — как раз такая задача на первых неделях. Способ через пятёрку хорошо ложится на пальцы двух рук и на счёт на абакусе. Удвоения (6 + 6, 7 + 7, 8 + 8) дети обычно запоминают первыми, поэтому соседние суммы удобно считать от них. Ни один из этих способов не обязателен: если «дополни до 10» уже работает уверенно, менять его не нужно.

Вычитание с переходом через десяток

Вычитание с переходом — это пример вида 15 − 7, где единиц в уменьшаемом не хватает. Его решают двумя способами: по частям через 10 или через обратное сложение.

• По частям. 15 − 7: сначала 15 − 5 = 10, потом 10 − 2 = 8. Вычитаемое раскладывают так, чтобы первая часть «сняла» единицы.
• Ещё по частям. 14 − 6: 14 − 4 = 10, 10 − 2 = 8. 11 − 3: 11 − 1 = 10, 10 − 2 = 8.
• Через сложение. 16 − 9: какое число нужно прибавить к 9, чтобы получить 16? 9 + 7 = 16, ответ 7.
• Через десяток. 12 − 9: отнять 10 и вернуть 1, ответ 3.

Этот приём опирается на связь сложения и вычитания: в ФОП обе операции в пределах 20 стоят в программе 1 класса. Способ через сложение удобен, когда вычитаемое большое и близко к уменьшаемому, как в 16 − 9 или 17 − 8. Способ по частям — когда вычитаемое маленькое: 11 − 3, 12 − 4. Сильные ученики выбирают сами, остальным стоит дать сначала один способ и довести его до уверенности.

Частые ошибки и как их исправить

Ошибки при переходе почти всегда видны по ответу: чаще всего он отличается от верного на 1 или на 2, и это подсказывает, какой шаг потерян.

Если ошибки случайные и разные, причина чаще в спешке или усталости; по исследованиям математической тревожности (Ramirez и соавторы), страх ошибиться заметен уже у учеников 1–2 класса^[5]. Если повторяется одна и та же — в способе. Rohrer и Taylor показали, что перемешанные задачи разных типов дают лучший результат на итоговой проверке, чем блоки однотипных^[3], поэтому после разбора ошибки полезна смешанная серия, а не 20 одинаковых примеров. Когда трудности выходят за пределы одной темы, поможет разбор того, почему ребёнок не умеет считать в уме.

Тренажёр перехода через десяток

Тренажёр даёт только примеры с переходом — на сложение и вычитание в пределах 20. Режимов 2: «20 примеров» без таймера и «60 секунд».

Ответ вводят в поле и нажимают Enter: сразу появляется «Верно» или «Правильно: …». В конце серии тренажёр показывает число верных ответов, точность, секунды на пример, список ошибок и совет. Последние 6 тренировок видны под кнопкой «Начать». Список ошибок полезно сверять с таблицей выше: если промахи собираются в одной строке, проблема в конкретной паре. Самопроверка ответа до подсказки закрепляет лучше перечитывания^[4], поэтому подсматривать решение до ввода ответа не стоит.

Когда тренировка не поможет

Не поможет никакая серия примеров, если у ребёнка нет опоры для способа или если тренировки слишком длинные.

• Не знает, сколько не хватает до 10 от 6, 7 или 8. Сначала пары до десяти.
• Не может разложить 5 на 3 и 2. Без разложения малых чисел второй шаг невозможен.
• Ребёнку меньше 6 лет и он ещё считает предметы по одному. Переход через десяток подождёт.
• Серия длится дольше 15 минут. Ошибки от усталости закрепляются так же, как верные ответы.

«Если ребёнок долго не справляется с переходом, у него нет способностей к математике». Это миф: почти всегда за трудностью стоит пробел в составе чисел до 10, который закрывается за несколько недель.

Чего делать нельзя

Нельзя давать один способ за другим, пока первый не стал уверенным: обилие приёмов путает.

• Нельзя начинать с вычитания. Сначала сложение, вычитание опирается на него.
• Не следует запрещать проговаривание шагов. Оно уходит само, когда способ освоен.
• Не стоит учить все четыре способа сложения сразу. Достаточно одного основного.
• Нельзя ставить таймер, пока ответы неточные. Спешка закрепляет ошибку на единицу.
• Не следует подсказывать ответ. Подсказка касается способа: «Сколько до десяти?»
• Не стоит давать подряд 20 однотипных примеров. Смешанные серии полезнее.

Источники

[1] Приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 372 «Об утверждении федеральной образовательной программы начального общего образования».

[2] Гальперин П. Я. Развитие исследований по формированию умственных действий // Психологическая наука в СССР. Т. 1. М., 1959.

[3] Rohrer D., Taylor K. The shuffling of mathematics problems improves learning // Instructional Science. 2007. Vol. 35, № 6. P. 481–498.

[4] Roediger H. L., Karpicke J. D. Test-enhanced learning: Taking memory tests improves long-term retention // Psychological Science. 2006. Vol. 17, № 3. P. 249–255.

[5] Ramirez G., Gunderson E. A., Levine S. C., Beilock S. L. Math anxiety, working memory, and math achievement in early elementary school // Journal of Cognition and Development. 2013. Vol. 14, № 2. P. 187–202.

[6] Выготский Л. С. Мышление и речь. М., 1934.

Вопросы и ответы

Какой способ объяснять первым?

«Дополни до 10» вместе с перестановкой слагаемых. Он работает на всех 36 примерах и позже переносится на двузначные числа. Остальные способы можно показать, когда основной уже уверенный.

Почему в школе требуют рисовать дугу под числом?

Дуга — это запись разложения: под пятёркой пишут 3 и 2. Она нужна, пока ребёнок не может удержать разложение в голове. Когда ответы становятся быстрыми и верными, учитель обычно разрешает её не рисовать.

Ребёнок решает верно, но очень медленно. Это нормально?

Да, если ответы правильные. Скорость приходит, когда частые суммы начинают вспоминаться без вычисления. Обычно это происходит через несколько недель коротких ежедневных занятий.

Можно ли пользоваться пальцами?

На первых порах можно, особенно если пальцы показывают пятёрки и десяток, а не пересчёт по одному. Постепенно их заменяет проговаривание, а потом — счёт про себя.

Сколько примеров давать за одно занятие?

Около 20, причём смешанных: сложение и вычитание вперемешку. Лучше одна серия и спокойный разбор ошибок, чем три серии подряд на одном дыхании.

Что изучать после этой темы?

Сложение и вычитание двузначных чисел, где тот же приём работает с десятками. Порядок тем описан в статье про счёт в пределах 100.