Как складывать и вычитать двузначные числа в уме: три способа

Порядок изучения счёта в пределах 100

Счёт с двузначными числами осваивают в 6 шагов: от круглых десятков к примерам с переходом. По ФОП начального общего образования сложение и вычитание чисел до 100, устное и письменное, — содержание 2 класса^[1].

Последовательность внутри года выбирает учитель, а ФОП и ФГОС не задают ни сроков, ни скорости: приказ Минпросвещения о стандарте начального образования формулирует результаты через умения. Но логика шагов одинакова в любом учебнике: каждый следующий опирается на предыдущий. Шаг 5 невозможен без перехода через десяток в пределах 20, шаг 6 — без шагов 3 и 5. Если двузначные примеры с переходом вызывают ошибки, почти всегда помогает возврат на один-два шага назад.

Отдельно стоит проверить переход через десяток из первого класса. Пример 67 + 5 решается так же, как 7 + 5, только к ответу добавляются 6 десятков. Если 7 + 5 ребёнок считает на пальцах, двузначные примеры будут медленными. Способы для этой базы разобраны в статье про переход через десяток.

«Для двузначных чисел есть один правильный способ, и только его можно использовать». Такого правила не существует: программа требует верного и объяснимого вычисления, а способ — по разрядам или через круглое — ребёнок выбирает под пример.

Способ 1: по разрядам

Сложение по разрядам — это отдельное сложение десятков и единиц с последующим объединением: 36 + 42 = (30 + 40) + (6 + 2) = 70 + 8 = 78. Способ лучше всего работает без перехода.

• Сложение. 36 + 42: десятки 30 + 40 = 70, единицы 6 + 2 = 8, ответ 78.
• Вычитание. 87 − 54: десятки 80 − 50 = 30, единицы 7 − 4 = 3, ответ 33.
• Последовательно. 36 + 42 = 36 + 40 + 2: сначала прибавить десятки ко всему числу, потом единицы. Этот вариант надёжнее при переходе.

Последовательный вариант стоит показать сразу, хотя он кажется длиннее. При переходе он избавляет от главной ловушки: в примере 58 + 27 раздельный подсчёт даёт 70 и 15, и ребёнку приходится складывать ещё раз. Последовательно — 58 + 20 = 78, 78 + 7 = 85, и переход случается только один раз, в конце. Для двузначных чисел это самый универсальный способ: в пределах 100 он работает и с переходом, и без него. Записывать промежуточные числа при этом не нужно — достаточно держать в голове одно число.

Способ 2: через круглое число

Если одно из чисел близко к круглому, его удобно заменить круглым и затем исправить разницу: 47 + 19 = 47 + 20 − 1 = 66. Чем ближе число к круглому, тем выгоднее способ.

Для счёта в пределах 100 такие числа встречаются постоянно: 19, 29, 38, 49, 58. Способ не стоит брать, если до круглого больше трёх единиц: 46 + 24 удобнее считать по разрядам, а не как 46 + 30 − 6.

1. Прибавить с запасом. 47 + 19: вместо 19 прибавляем 20, получаем 67, лишнюю единицу отнимаем — 66.
2. Вычесть с запасом. 63 − 29: вычитаем 30, получаем 33, лишнюю единицу возвращаем — 34.
3. Дополнить первое число. 58 + 27: сначала 58 + 2 = 60, остаётся 25, ответ 85.

Главная трудность — направление исправления. При сложении с запасом лишнее отнимают, при вычитании с запасом лишнее возвращают. Помогает вопрос: «Я прибавил больше, чем нужно, или меньше?» Если прибавил больше — ответ надо уменьшить. Ученики, которые уверенно владеют этим способом, легко переносят его на трёхзначные числа в 3 классе. Подробнее о вычитании через круглое и дополнение — в статье про вычитание в уме.

Способ 3: по частям с переходом

Чтобы прибавить или вычесть однозначное число с переходом через десяток, его раскладывают на 2 части: первая доводит до круглого, вторая — остаток. Это тот же приём, что и в пределах 20.

Двузначное число здесь меняет только десятки: 67 + 5 — это те же 7 + 5, к которым приписаны шесть десятков. ФОП относит переход через десяток к 1 классу, и во 2 классе он становится частью работы с двузначными числами.

• Прибавить. 67 + 5: до 70 нужно 3, остаётся 2, ответ 72.
• Вычесть. 92 − 8: до 90 нужно отнять 2, остаётся 6, 90 − 6 = 84.
• Двузначное с переходом. 73 − 46: 73 − 40 = 33, потом 33 − 6 = 33 − 3 − 3 = 27.
• Из круглого. 80 − 34: 80 − 30 = 50, 50 − 4 = 46.

В примерах с двузначным вычитаемым этот способ работает в паре с последовательным: сначала вычитают десятки, потом единицы по частям. На первых порах шаги проговаривают вслух. Гальперин описывал переход к действию в уме как поэтапный: опора, громкая речь, речь про себя, внутренний план^[2]. Ребёнок, который «молча» сбивается, часто справляется, когда разрешают проговорить промежуточные числа.

Как выбрать способ для примера в пределах 100

Выбор способа — это 2 вопроса: есть ли переход через десяток и есть ли число, близкое к круглому. Ответы на них подсказывают самый короткий путь.

Последняя строка выходит за пределы сотни, но показывает полезную привычку: смотреть на пример целиком, прежде чем считать. Сравнить два способа на одном примере — хорошее упражнение: ребёнок решает 56 + 29 по разрядам и через круглое и сам решает, какой путь короче. Проверять результат удобно прикидкой: 56 + 29 — это примерно 60 + 30, около 90, и ответ 85 выглядит правдоподобно. О прикидке подробнее — в статье про округление и прикидку результата.

Частые ошибки

Ошибки в сложении и вычитании двузначных чисел почти всегда относятся к 4 типам, и каждый видно по ответу.

Если ошибки разных типов перемешаны, причина скорее в спешке. После разбора полезна смешанная серия: в исследовании Rohrer и Taylor перемешанные задачи дали лучший итоговый результат, чем блоки однотипных^[5]. Если повторяется одна и та же — в способе, и его нужно разобрать отдельно на 5–6 примерах. Как программа 2 класса связывает эту тему с таблицей умножения, описано в материале про счёт во втором классе.

Тренажёр сложения и вычитания в пределах 100

Тренажёр даёт примеры на сложение и вычитание двузначных чисел — с переходом и без. Режимов 2: «20 примеров» для точности и «60 секунд» для темпа.

Ответ вводят и подтверждают клавишей Enter, сразу появляется «Верно» или «Правильно: …». В итоге видны верные ответы, точность, секунды на пример, список ошибок и совет. Последние 6 тренировок хранятся под кнопкой «Начать». Список ошибок удобно сверять с таблицей выше. Короткие тренировки в разные дни закрепляют навык лучше, чем одна длинная^[3], поэтому две серии по 20 примеров в разные дни полезнее, чем четыре подряд.

Когда тренажёр не поможет

Не поможет серия примеров, если у ребёнка нет базы из первого класса или если он не видит в числе десятки и единицы.

• 7 + 5 ребёнок считает на пальцах. Сначала переход через десяток в пределах 20.
• Не может сказать, сколько десятков в 64. Сначала разряды, иначе ни один способ не сработает.
• До проверочной меньше 2 дней. Новый способ не успеет закрепиться, лучше повторить уже знакомый.
• Серия длится больше 20 минут. Ошибки от усталости закрепляются так же прочно, как верные ответы.

«Устные приёмы мешают учить запись столбиком». Это не подтверждается: обе формы входят в программу 2 класса, а вычисление по разрядам в уме и столбик опираются на одно и то же понимание десятков и единиц.

Чего делать нельзя

Нельзя переходить к двузначным примерам с переходом, пока не освоены шаги без него.

• Нельзя показывать три способа в один день. Один способ — одна-две недели.
• Не следует запрещать «свой» способ, если ребёнок может объяснить, почему он верен.
• Не стоит пропускать прикидку. Она ловит потерянный десяток за секунду.
• Нельзя давать 20 одинаковых примеров подряд. Смешанные серии учат выбирать способ.
• Не следует включать таймер, пока точность ниже 9 из 10.
• Не стоит решать за ребёнка. Подсказка касается шага: «Сколько до круглого?»

Источники

[1] Приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 372 «Об утверждении федеральной образовательной программы начального общего образования».

[2] Гальперин П. Я. Развитие исследований по формированию умственных действий // Психологическая наука в СССР. Т. 1. М., 1959.

[3] Cepeda N. J., Pashler H., Vul E., Wixted J. T., Rohrer D. Distributed practice in verbal recall tasks: A review and quantitative synthesis // Psychological Bulletin. 2006. Vol. 132, № 3. P. 354–380.

[4] Выготский Л. С. Мышление и речь. М., 1934.

[5] Rohrer D., Taylor K. The shuffling of mathematics problems improves learning // Instructional Science. 2007. Vol. 35, № 6. P. 481–498.

Вопросы и ответы

С какого способа начинать?

С последовательного сложения по разрядам: сначала десятки, потом единицы. Он работает на любом примере. Способ через круглое добавляют позже, когда первый уже уверенный.

Почему ребёнок правильно решает в тетради, а в уме ошибается?

В тетради промежуточные числа записаны, а в уме их нужно держать. Разрешите на первых порах проговаривать их вслух — это нормальный этап перед счётом про себя.

Как помочь, не подсказывая ответ?

Подсказывайте шаг, а не число: «Сколько десятков прибавили? А теперь единицы?» Выготский описывал такую помощь как работу в зоне ближайшего развития^[4]: задание остаётся трудным, но выполнимым.

Нужно ли учить дополнение до 100?

Полезно: 100 − 37 = 63 — это «сколько до 100», и такие пары помогают и в вычитании, и в задачах на сдачу. Учить их можно после того, как освоено вычитание из круглых чисел.

Сколько примеров решать за занятие?

Одной-двух серий по 20 примеров достаточно. Важнее регулярность: 4–5 коротких занятий в неделю дают больше, чем одно длинное в выходной.

Ребёнок решает верно, но медленно. Как ускорить?

Не торопить. Скорость растёт, когда шаги перестают требовать усилий. Полезно отдельно потренировать пары до круглого: от 47 до 50, от 63 до 70. Они нужны почти в каждом примере.