Вычитание без столбика: дополнение до 1000 и отсчёт вверх

Четыре способа вычитания в уме

Вычитание в уме труднее сложения, потому что заём из старшего разряда приходится держать в голове. Каждый из четырёх способов по-своему обходит эту трудность, и выбор зависит от чисел в примере.

По ФОП НОО вычитание в пределах 20 с переходом через десяток изучают в 1 классе, в пределах 100 устно и письменно — во 2 классе, а многозначные числа — в 4 классе^[1]. Ни ФГОС, ни ФОП не задают норм скорости, поэтому цель на каждом этапе одна — верный ответ без записи. Основа для всех способов — уверенное вычитание с переходом через десяток, о котором рассказано в материале о переходе через десяток.

Не стоит учить все способы за одну неделю: вычитание в уме осваивают постепенно. Первым осваивают вычитание по частям, через неделю — через круглое, затем дополнение и отсчёт вверх. Так каждый способ успевает закрепиться, а не смешаться с соседним.

Вычитание по частям: сначала сотни, потом десятки

Вычитаемое раскладывают на разрядные слагаемые и отнимают их по очереди, начиная со старшего: 846 − 372 = 846 − 300 = 546, затем 546 − 70 = 476, затем 476 − 2 = 474.

Удобство этого способа в том, что на каждом шаге отнимается одна цифра одного разряда, а заём, если он нужен, происходит только с промежуточным числом. В примере 546 − 70 нужен заём: 54 десятка минус 7 десятков — 47 десятков, то есть 476. Ребёнок решает его как 54 − 7, просто помня, что это десятки.

Разложить можно и по-другому, если так проще: 624 − 258 = 624 − 200 − 50 − 8 = 424 − 50 − 8 = 374 − 8 = 366. Или 624 − 258 = 624 − 260 + 2 = 364 + 2 = 366, если заметить, что 258 близко к 260. Оба пути верные, а проверить ответ можно сложением: 366 + 258 = 624.

«Вычитанию без столбика научиться нельзя, если у ребёнка плохая память». Это миф: способ по частям держит в голове одно промежуточное число, а не всё вычитание сразу, и с ним справляются дети без особых способностей.

Через круглое число и сдвиг обоих чисел

Если вычитаемое близко к круглому, отнимают круглое и возвращают лишнее: 735 − 197 = 735 − 200 + 3 = 538. Отняли на 3 больше — значит, 3 нужно прибавить.

Знак поправки — главная ловушка. По ФОП НОО числа до 1 000 изучают в 3 классе, и как раз тогда этот способ становится нужен. При сложении через круглое лишнее отнимают, а при вычитании возвращают, и дети часто путают. Помогает проговаривание: «отнял слишком много — верну». Так же 5 214 − 1 998 = 5 214 − 2 000 + 2 = 3 216.

Есть вариант без поправки: сдвинуть оба числа на одно и то же число. Разность от этого не меняется. 732 − 397: прибавим 3 к обоим, получится 735 − 400 = 335. Детям, которые путают знак поправки, этот вариант подходит лучше: в нём нет второго действия. Сдвиг хорошо объясняется на числовой прямой — расстояние между двумя точками не меняется, если сдвинуть обе на одинаковое число шагов. Подробнее о прямой — в статье о числовой прямой.

Дополнение до 100 и 1 000: каждая цифра до 9, последняя до 10

Чтобы отнять число от 1 000, каждую его цифру дополняют до 9, а последнюю — до 10: для 368 это 3 → 6, 6 → 3, 8 → 2, ответ 632. Для 100 правило то же: 100 − 37 = 63.

Почему так? 1 000 = 999 + 1. Вычитать из 999 легко — заёма нет ни в одном разряде, каждая цифра просто дополняется до 9: 999 − 368 = 631. Остаётся прибавить 1, и последняя цифра дополняется уже до 10. Объяснение занимает минуту, и после него правило не забывается.

• 10 000 − 2 736. 2 → 7, 7 → 2, 3 → 6, 6 → 4: ответ 7 264.
• 1 000 − 450. Нули на конце не трогаем, последняя ненулевая цифра 5 → 5, первая 4 → 5: ответ 550.
• 1 000 − 209. 2 → 7, 0 → 9, 9 → 1: ответ 791.
• 900 − 473. Сначала 1 000 − 473 = 527, потом минус 100: ответ 427.

Главное применение дополнения — деньги. Сдача с 1 000 ₽ при покупке на 368 ₽ — это 632 ₽, а с 500 ₽ — 632 − 500 = 132 ₽. Больше таких примеров — в материале о счёте денег и сдачи.

Отсчёт вверх для близких чисел

Если уменьшаемое и вычитаемое близки, проще не отнимать, а считать, сколько нужно добавить к меньшему, чтобы получить большее: от 968 до 1 000 — 32, от 1 000 до 1 003 — ещё 3, итого 35.

Отсчёт вверх особенно хорош, когда между числами есть круглое: 2 010 − 1 985 — от 1 985 до 2 000 это 15, от 2 000 до 2 010 ещё 10, ответ 25. А 7 002 − 6 985 — 15 и 2, ответ 17. Вычитание в уме отсчётом здесь проще столбика: столбик требует займа через несколько нулей, и ошибиться там гораздо проще, чем при отсчёте.

Этот способ похож на то, как продавец отсчитывает сдачу, добавляя монеты к цене покупки, пока не дойдёт до суммы, которую дал покупатель. Ребёнку его легко показать на игрушечных деньгах или на линейке, а запоминать как правило не нужно.

«Отсчёт вверх — это сложение, а не вычитание, и учителя его не засчитают». Это миф: вычитание и сложение — взаимно обратные действия, и найти разность через «сколько не хватает» — законный путь. В тетради достаточно записать пример и ответ.

Тренажёр: вычитание в уме через дополнение

Тренажёр даёт примеры вида 100 − x и 1 000 − x по одному: введите ответ в поле и нажмите Enter, сразу появится «Верно» или «Правильно: …». Режимы — «60 секунд» и «20 примеров», запуск кнопкой «Начать».

В конце серии видно, сколько ответов верно, точность, секунд на пример, список ошибок и совет. Последние 6 тренировок сохраняются под кнопкой. Начинайте с «20 примеров» и переходите к режиму на время только после того, как точность держится выше 90%. Распределённая практика по несколько минут в день, по обзору Cepeda и соавторов, даёт лучшее долговременное запоминание, чем та же практика подряд^[2].

После того как дополнение до 1 000 стало автоматическим, полезно перемешивать его со сложением и вычитанием по частям. В исследовании Rohrer и Taylor перемешанные задачи дали лучший результат на итоговой проверке, чем блоки однотипных^[3]. Для сложения подойдёт тренажёр из статьи о сложении многозначных чисел.

Когда вычитание в уме не подходит

Не всякую разность выгодно искать без записи. В этих случаях лучше взять тетрадь или вернуться к основе.

• Переход через десяток не освоен. Если 13 − 7 вызывает паузу дольше 3 секунд, трёхзначные примеры рано.
• Ученик 1 класса. До 20 главное — состав числа, способы для сотен ему не нужны.
• Числа из 5 и более цифр без круглых. 83 517 − 46 829 надёжнее решить столбиком.
• Цепочка из 3 и более действий. Промежуточные результаты лучше записывать.

Чего делать нельзя

Нельзя давать правило дополнения без объяснения через 999 + 1: без него ребёнок забудет, какая цифра дополняется до 10. Вот что ещё мешает.

• Нельзя смешивать знак поправки. При разности через круглое лишнее возвращают, а не отнимают.
• Не следует включать таймер в первую неделю. Сначала точность, потом темп.
• Не стоит запрещать пометки на полях. Запись «546» как промежуточного числа — нормальная опора.
• Нельзя пропускать проверку сложением в трёх- и четырёхзначных примерах.
• Не стоит ругать за ошибку в нулях. Лучше разобрать пример 1 000 − 450 ещё раз вместе.
• Не следует сравнивать с одноклассниками. Сравнивайте с прошлыми результатами в истории тренажёра.

Проговаривание шагов вслух — нормальный этап: по Гальперину умственное действие переходит от громкой речи к речи про себя и затем во внутренний план^[4]. Если ребёнок шепчет «отнял лишнее — верну», это не мешает, а помогает.

Источники

[1] Приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 372 «Об утверждении федеральной образовательной программы начального общего образования».

[2] Cepeda N. J., Pashler H., Vul E., Wixted J. T., Rohrer D. Distributed practice in verbal recall tasks: A review and quantitative synthesis // Psychological Bulletin. 2006. Vol. 132, № 3. P. 354–380.

[3] Rohrer D., Taylor K. The shuffling of mathematics problems improves learning // Instructional Science. 2007. Vol. 35, № 6. P. 481–498.

[4] Гальперин П. Я. Развитие исследований по формированию умственных действий // Психологическая наука в СССР. Т. 1. М., 1959.

Вопросы и ответы

Почему последняя цифра дополняется до 10, а не до 9?

Потому что 1 000 = 999 + 1. Из 999 вычитают без займа, дополняя каждую цифру до 9, а затем прибавляют единицу — она и превращает «до 9» в «до 10» в последнем разряде. Если в конце нули, единица попадает в последнюю ненулевую цифру.

Как отнять 46 от 813 быстро?

Через круглое: 813 − 50 = 763, вернуть 4 — получится 767. Или по частям: 813 − 40 = 773, затем 773 − 6 = 767. Выбирайте тот путь, в котором меньше займов.

Ребёнок путает, прибавлять или отнимать поправку. Что делать?

Переходите на сдвиг обоих чисел: 732 − 397 = 735 − 400. Здесь поправки нет вовсе. Через пару недель вернитесь к круглому числу и проговаривайте поправку вслух.

Можно ли дополнять до 10 000 и дальше?

Да, правило одинаковое для любого числа вида 1 и нули: 10 000 − 2 736 = 7 264. Важно, чтобы количество цифр вычитаемого совпадало с количеством нулей; если цифр меньше, недостающие считают нулями и дополняют до 9.

С какого класса учить дополнение до 1 000?

Числа до 1 000 появляются в 3 классе, поэтому дополнение уместно с середины 3 класса. Дополнение до 100 можно начинать со 2 класса, как только ребёнок уверенно вычитает двузначные числа.

Сколько времени уходит на освоение?

Обычно 1–2 недели на каждый способ при занятиях по 5–7 минут в день. Сроки индивидуальны: ориентируйтесь на точность в истории тренажёра, а не на календарь.