Шестёрка без зубрёжки: пятёрка плюс один раз и удвоенная тройка

Столбец умножения на 6 и два способа получить ответ

В столбце умножения на 6 десять произведений, от 6 до 60, и все они чётные. В таблице ниже рядом с ответом показаны две дороги к нему: через пятёрку и через тройку.

Последние цифры повторяются по кругу: 6, 2, 8, 4, 0, затем снова 6, 2, 8, 4, 0. Нечётных окончаний в шестёрке не бывает, поэтому ответ вроде «6 × 7 = 43» можно отбросить сразу, даже не пересчитывая. Это первая проверка, которую стоит показать ребёнку.

«При нечётном множителе ответ в шестёрке тоже бывает нечётным». Это не так: нечётного произведения на 6 не существует, потому что 6 = 2 × 3 и в любом ответе есть множитель 2.

Шестёрка — это пятёрка и ещё один раз

Шесть раз по n — это пять раз по n и ещё одно n сверху, так что умножение на 6 сводится к пятёрке. Ребёнок берёт знакомый ответ из столбца на 5 и прибавляет к нему второй множитель.

Возьмём 6 × 9. Пять девяток — 45, ещё одна девятка — 54. Или 6 × 8: пять восьмёрок — 40, плюс 8 — 48. Отдельно заучивать эти ответы не нужно. Приём особенно удобен тем, что в столбце на 5 ответы заканчиваются на 0 или 5, а к таким числам прибавлять легче всего.

Объяснить идею поможет картинка. Нарисуйте шесть рядов по семь кружков и закройте ладонью нижний ряд. Сверху остаётся 5 × 7 = 35, под ладонью — ещё 7. Вместе 42. Исследования Гальперина как раз о таком порядке. Работа с наглядной опорой, проговаривание вслух и только потом счёт про себя повторяют этапы, которые описал П. Я. Гальперин^[1]: от действия с предметами к внутреннему плану.

Удвоение столбца на 3

Если столбец на 3 уже выучен, каждый ответ умножения на 6 — это его удвоение: берём 3 × n дважды. Например, 3 × 8 = 24, а удвоенное 24 — это 48.

Этот путь хорош только если ребёнок уверенно удваивает двузначные числа. 21 + 21 = 42 и 27 + 27 = 54 считаются почти мгновенно. Сложнее удвоение с переходом: 18 + 18 = 36 требует перенести десяток, и здесь иногда появляется ответ 26. Если такое случается, вернитесь к способу через пятёрку: 30 + 6.

Связь с тройкой полезна ещё и потому, что она объясняет, откуда в шестёрке берётся признак делимости. Каждое произведение на 6 делится и на 2, и на 3. Значит, у любого ответа сумма цифр делится на 3: у 42 это 6, у 54 — 9, у 48 — 12. Подробнее о том, как проверять делимость по цифрам, — в разделе признаки делимости на 2, 3 и 9, а все десять столбцов вместе собраны на странице таблица умножения 10 × 10 с закономерностями.

Чётный множитель повторяется в конце

Если умножать 6 на чётное число, ответ заканчивается этим же числом: 6 × 2 = 12, 6 × 4 = 24, 6 × 6 = 36, 6 × 8 = 48. Это самая заметная закономерность шестёрки.

Первая цифра тоже подчиняется правилу: она равна половине множителя. Половина от 4 — это 2, отсюда 24. Половина от 8 — это 4, отсюда 48. Половина от 6 — это 3, отсюда 36. Ребёнок, знающий правило, восстановит четыре ответа, не заглядывая в таблицу. Запоминать их отдельно уже не нужно.

Почему так выходит? 6 × 2k = 12k = 10k + 2k: в десятках остаётся k, в единицах — 2k, то есть исходный множитель. Правило держится, пока 2k меньше 10, поэтому на 6 × 10 = 60 оно уже не распространяется. Для нечётных множителей закономерность не подходит: 6 × 7 даёт 42, а не что-то с семёркой на конце.

«Правило с чётными множителями работает для всей шестёрки». Это миф: оно верно только для 2, 4, 6 и 8, а нечётные множители и 10 нужно получать другими способами.

Трудные пары умножения на 6: 7, 8 и 9

Чаще всего ошибаются в трёх примерах: 6 × 7 = 42, 6 × 8 = 48 и 6 × 9 = 54. Их ответы стоят рядом в таблице и похожи на соседей из столбцов на 7 и на 8.

• 6 × 7 = 42. Путают с 48. Помогает удвоение: 3 × 7 = 21, дважды 21 — это 42. Окончание 2, а не 8.
• 6 × 8 = 48. Работает правило чётного множителя: восьмёрка в конце, половина от неё — 4 — в начале.
• 6 × 9 = 54. Путают с 56 из семёрки. Подсказка: 60 − 6 = 54, а сумма цифр 5 + 4 = 9, как у всех ответов на 9.

Учить три факта умножения на 6 лучше в паре с соседом, с которым их путают, а не по одному. Выпишите столбиком 6 × 9 = 54 и 7 × 8 = 56, а затем 6 × 7 = 42 и 6 × 8 = 48. Попросите ребёнка объяснить, почему ответы разные. Выготский считал полезной именно такую помощь. Подсказка взрослого здесь касается способа, а не результата: это ровно то, что Выготский называл работой в зоне ближайшего развития^[2].

Неделя на столбец на 6

Чтобы шестёрка закрепилась, хватает 5 коротких занятий по 10 минут. Каждый день добавляется один способ и одна проверка, а примеры постепенно перемешиваются.

1. День 1. Рисуем ряды кружков, получаем 6 × n как 5 × n + n. Ответы проговариваем вслух.
2. День 2. Удваиваем столбец на 3, сверяем с вчерашними ответами.
3. День 3. Ищем правило чётных множителей, заполняем табличку без подсказки.
4. День 4. Трудные пары рядом с соседями, затем режим «20 примеров» в тренажёре.
5. День 5. Смешанная серия: умножение и деление на 6 вразбивку, разбор каждого неверного ответа.

Тренажёр на 6 показывает «Верно» или «Правильно: …» сразу после Enter, а в конце — точность, секунды на пример и список ошибок с советом. Последние шесть попыток видны под кнопкой «Начать». По ФОП начального общего образования на всю таблицу отводится 2 класс, так что неделя на одно число укладывается в программу с запасом. Если после пятого дня точность ниже 9 из 10, не переходите к следующему числу, а повторите дни 3–5. Как устроить такие повторения для всей таблицы, разобрано в статье как выучить таблицу умножения за 4 недели.

Когда опора на тройку не подходит

Удвоение тройки не подходит ребёнку, у которого слаб сам столбец на 3 или удвоение двузначных чисел. В этих случаях лучше другой путь.

• В столбце на 3 больше 2 ошибок из 10. Удвоение неверного ответа даёт неверный ответ — сначала закрепите тройку.
• Удвоение 18 или 27 занимает больше 5 секунд. Тогда быстрее способ 5 × n + n.
• Ребёнок 7 лет только начал 2 класс. Приёмы с двумя шагами могут перегрузить; начните с рядов кружков и счёта шестёрками.
• До проверочной работы 1 день. Новый способ за такой срок не успеет закрепиться, повторяйте тот, что уже знаком.

Чего нельзя делать на этапе шестёрки

Нельзя торопить ребёнка именно на этом столбце: с шестёрки начинаются ответы больше 40, и ошибок становится больше. Несколько правил для взрослых.

• Нельзя давать все приёмы сразу. Один способ в день, иначе они смешиваются.
• Не стоит переходить к семёрке, пока трудные пары 7, 8 и 9 решаются с ошибками.
• Не следует подсказывать готовый ответ. Подсказывайте способ: «сколько будет пять раз по восемь?»
• Нельзя ругать за медленный счёт. Тревога у учеников 1–2 класса уже встречается и связана с более низкими результатами^[3].
• Не стоит учить столбец только по порядку. Вразбивку ответы закрепляются надёжнее.

Источники

[1] Гальперин П. Я. Развитие исследований по формированию умственных действий // Психологическая наука в СССР. Т. 1. М., 1959.

[2] Выготский Л. С. Мышление и речь. М., 1934.

[3] Ramirez G., Gunderson E. A., Levine S. C., Beilock S. L. Math anxiety, working memory, and math achievement in early elementary school // Journal of Cognition and Development. 2013. Vol. 14, № 2. P. 187–202.

[4] Приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 372 «Об утверждении федеральной образовательной программы начального общего образования».

[5] Rohrer D., Taylor K. The shuffling of mathematics problems improves learning // Instructional Science. 2007. Vol. 35, № 6. P. 481–498.

Вопросы и ответы

Почему все ответы в этом столбце чётные?

Потому что 6 = 2 × 3, а значит, любое произведение с шестёркой содержит множитель 2. Число, которое делится на 2, всегда чётное. По той же причине ответы на 2, 4 и 8 тоже только чётные.

Что легче: через пятёрку или через тройку?

Зависит от ребёнка. Кто уверенно складывает с круглыми числами, выбирает 5 × n + n. Кто быстро удваивает, берёт тройку. Попробуйте оба способа на одних и тех же примерах и оставьте тот, где меньше ошибок.

Как запомнить 6 × 9 и не путать с 7 × 8?

Произнесите оба факта подряд: «шестью девять — пятьдесят четыре, семью восемь — пятьдесят шесть». В первом ответе меньшие цифры, и сумма 5 + 4 равна 9. Во втором цифры идут по порядку: 5, 6, 7, 8.

Когда в школе проходят таблицу на 6?

По ФОП начального общего образования табличное умножение и деление изучают во 2 классе^[4]. Точную последовательность чисел определяет учебник и учитель, но к концу года ожидается знание всей таблицы.

Ребёнок знает ответы по порядку, но теряется вразбивку. Что делать?

Это значит, что он считает цепочкой 6, 12, 18 и так далее. Исследование Rohrer и Taylor говорит в пользу перемешанных задач^[5]. Перейдите на карточки в случайном порядке и на режим «20 примеров» в тренажёре. Таймер здесь не поможет, пока цепочка не исчезла. Через несколько занятий ответ начнёт находиться сразу, без прохода по цепочке.

Нужно ли отдельно учить деление на 6?

Отдельно — нет. Каждое деление — это умножение наоборот: 54 : 6 = 9, потому что 6 × 9 = 54. Достаточно решать смешанные серии, где деление идёт вперемешку с умножением.