Делимость чисел без деления: правила по цифрам и почему они верны

Что такое признак делимости

Признак делимости — это правило, по которому можно определить, делится ли число на другое без остатка, глядя только на его цифры. Само деление при этом не нужно: проверка занимает секунды.

По ФОП ООО делимость изучают в 5–6 классе вместе с натуральными числами и дробями — так её место в программе определяет ФОП основного общего образования^[1]. ФОП не предписывает учить все правила подряд, поэтому набор зависит от учителя и учебника. Признаки на 2, 3, 5, 9 и 10 — основа, а признаки на 4, 8, 11 и 25 полезны тем, кто считает в уме. Для устного счёта полезны все десять, но вводить их стоит только после таблицы умножения: они помогают делить в уме, сокращать дроби и проверять ответы.

Все признаки делимости делятся на две группы. Первая — «по хвосту»: смотрим на последние одну, две или три цифры. Так работают признаки на 2, 4, 5, 8, 10, 25. Вторая — «по сумме»: складываем цифры. Так работают признаки на 3 и 9, а признак на 11 использует знакочередующуюся сумму. Признак на 6 составной: число должно делиться и на 2, и на 3.

Таблица признаков делимости

В таблице собраны 10 признаков делимости с примером, который проходит проверку, и примером, который не проходит. Числа можно проверить делением в столбик.

Запоминать таблицу целиком не нужно, и зубрить её не стоит. Достаточно понять, почему работают две группы признаков, и каждый из них можно восстановить за минуту. Это надёжнее зубрёжки: забытое правило выводится заново, а заученное без понимания путается с соседним. В исследовании Rohrer и Taylor перемешанные задачи разных типов дали лучший итог, чем блоки однотипных, — ещё один довод не учить правила строго по одному.

Почему работают признаки делимости «по хвосту»

Признаки делимости по последним цифрам работают, потому что 10 делится на 2 и 5, 100 — на 4 и 25, а 1 000 — на 8. Всё, что стоит левее «хвоста», уже кратно нужному делителю.

Возьмём 7 316 и делитель 4. Число можно записать как 7 300 + 16. Первое слагаемое — это 73 сотни, а каждая сотня делится на 4. Значит, делимость всего числа зависит только от 16, а 16 на 4 делится. Ровно так же 15 128 = 15 000 + 128, где 15 000 состоит из тысяч и делится на 8, а 128 = 8 × 16. Если показать ребёнку это разложение один раз, признак на 8 перестаёт казаться странным. Объяснение через разряды опирается на материал начальной школы: по ФОП НОО многозначные числа изучают в 4 классе.

Отсюда видно, почему для 4 нельзя смотреть только на последнюю цифру. Число 10 на 4 не делится, поэтому десятки влияют на ответ: 12 делится на 4, а 22 — нет, хотя оба оканчиваются на 2. Тот же довод объясняет, почему для 8 двух цифр не хватает: 100 на 8 не делится, и правило работает только с тремя.

«Если сумма цифр делится на 4, число делится на 4». Это миф, который появляется от смешения двух групп признаков: у числа 13 сумма цифр 4, но 13 на 4 не делится. Для 4 работает только проверка двух последних цифр.

Почему признаки на 3 и 9 смотрят на сумму цифр

Каждая разрядная единица — 10, 100, 1 000 — на 1 больше числа, кратного 9: 10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1. Поэтому число и сумма его цифр дают одинаковый остаток при делении на 9 и на 3.

Разберём 6 381. Это 6 × 1 000 + 3 × 100 + 8 × 10 + 1. Заменим каждую разрядную единицу на «кратное 9 плюс 1»: 6 × 999 + 3 × 99 + 8 × 9 + (6 + 3 + 8 + 1). Всё, кроме скобки, делится на 9, а в скобке как раз сумма цифр, 18. Значит, 6 381 делится на 9. Так же объясняется признак делимости на 3, ведь 9 делится на 3.

Из этого следует полезный побочный факт: сумма цифр даёт не только ответ «делится или нет», но и сам остаток. У 2 719 сумма цифр 19, остаток от деления 19 на 9 равен 1, значит, и 2 719 при делении на 9 даёт остаток 1. На этом свойстве построена проверка ответа, подробно разобранная в статье о проверке вычислений цифровым корнем.

Делимость на 11 и на 6: составные правила

Число делится на 11, если разность между суммой цифр на нечётных местах и суммой цифр на чётных местах делится на 11 (ноль тоже подходит). Для 7 293: (3 + 2) − (9 + 7) = −11, значит, число кратно 11.

Объяснение похоже на признак на 9, только 10 = 11 − 1, поэтому разряды чередуют знак. Проверим ещё два числа. 4 312: (2 + 3) − (1 + 4) = 0, число кратно 11, частное 392. 5 243: (3 + 2) − (4 + 5) = −4, остаток не нулевой. Признак на 11 полезен, если умножение на 11 уже знакомо: подробнее о нём — в материале про умножение на 11 в уме.

С делителем 6 всё проще: 6 = 2 × 3, и числа 2 и 3 не имеют общих делителей, кроме 1. Поэтому достаточно проверить оба признака. 4 872 чётное и имеет сумму цифр 21 — кратно 6. 7 350 тоже чётное, сумма цифр 15 — тоже кратно, частное 1 225.

«Если число делится на 2 и на 6, то оно делится на 12». Это не так: 18 делится и на 2, и на 6, но не на 12. Это распространённый миф: составное правило работает только для множителей без общих делителей, а для 12 это 3 и 4.

Как применять правила в устном счёте

В устном счёте эти правила нужны для трёх задач: понять заранее, будет ли остаток, выбрать удобный порядок деления и найти общий множитель при сокращении дроби.

• Будет ли остаток. Можно ли разложить 1 236 конфет на 3 равные кучки? Сумма цифр 12 — да, по 412 штук.
• Порядок деления. 864 : 24 — проверяем: 864 делится на 8 (по последним трём цифрам), 864 : 8 = 108, затем 108 : 3 = 36.
• Сокращение дроби. 315/495: оба числа оканчиваются на 5 и имеют суммы цифр 9 и 18. Делим на 5 и на 9: получаем 7/11.
• Проверка ответа. Если 2 718 : 9 дало 301, это ошибка: число кратно 9, а 301 × 9 = 2 709.

Больше примеров с делением без записи — в статье о делении в уме по шагам, а сокращение долей подробно разобрано в материале о дробях без записи.

Делимость на 7 и другие неудобные числа

Для 7, 13 и 17 удобных правил по цифрам нет: существующие способы требуют нескольких шагов, и проще разделить столбиком. Один из таких способов для 7 — удвоить последнюю цифру и вычесть из числа без неё.

Например, 343: отбрасываем 3, получаем 34, вычитаем удвоенную тройку: 34 − 6 = 28. Число 28 кратно 7, значит, и 343 кратно 7, частное 49. Способ верный, но для четырёхзначных чисел шаг приходится повторять, и выигрыша по сравнению с делением почти нет. Поэтому для 7 школьнику достаточно таблицы умножения и прикидки, а заучивать этот способ не нужно. Ни ФОП, ни ФГОС его не требуют.

Когда проверка по цифрам не поможет

Правила по цифрам не решают все задачи — в нескольких случаях они бесполезны, и время на них тратить не стоит.

• Делитель 7, 13 или 17. Простых правил нет, быстрее разделить.
• Ученик 2–3 класса. До 5 класса достаточно правил на 2, 5 и 10, остальные лучше отложить.
• Делитель вроде 12 или 18. Нужно подобрать 2 множителя без общих делителей, иначе ответ будет неверным.
• Нужно частное, а не ответ «да или нет». Правило скажет, что 6 381 делится на 9, но число 709 всё равно придётся найти делением.

Чего делать нельзя

Нельзя давать правила списком для заучивания без объяснения: через месяц они смешаются. Вот что ещё стоит учесть.

• Нельзя переносить правило «по сумме» на 4, 6 или 8. Сумма цифр работает только для 3 и 9.
• Не следует проверять делимость на 12 через 2 и 6. Нужны множители без общих делителей: 3 и 4.
• Не стоит вводить все 10 правил за неделю. Одно-два новых правила в неделю усваиваются, остальные путаются.
• Нельзя путать «делится» и «оканчивается на». 24 оканчивается на 4, но на 4 делится не из-за этого, а 14 вообще не делится.
• Не стоит пропускать объяснение через разряды. Один разобранный пример 7 316 = 7 300 + 16 стоит десяти заученных правил.

Перемешанные задачи полезнее однотипных: в исследовании Rohrer и Taylor перемешивание дало лучший результат на итоговой проверке^[2]. Поэтому после знакомства с правилами давайте числа вперемешку: «на что из 2, 3, 4, 5, 9 делится 540?» Исследование Roediger и Karpicke показало, что самопроверка закрепляет лучше перечитывания^[3]: пусть ребёнок сам проверит ответ делением в столбик.

Источники

[1] Приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 370 «Об утверждении федеральной образовательной программы основного общего образования».

[2] Rohrer D., Taylor K. The shuffling of mathematics problems improves learning // Instructional Science. 2007. Vol. 35, № 6. P. 481–498.

[3] Roediger H. L., Karpicke J. D. Test-enhanced learning: Taking memory tests improves long-term retention // Psychological Science. 2006. Vol. 17, № 3. P. 249–255.

Вопросы и ответы

На что делится число 540?

Оно оканчивается на 0 — значит, кратно 2, 5 и 10. Сумма цифр 9 — кратно 3 и 9. Две последние цифры 40 — кратно 4. А раз делится на 2 и на 3, то и на 6. На 8 нет: 540 : 8 даёт остаток 4.

Почему у нуля на конце такая сила?

Ноль на конце означает, что число — это сколько-то десятков. А 10 = 2 × 5, поэтому такое число одновременно кратно 2, 5 и 10. Два нуля на конце дают кратность 100, а значит, и 4, и 25.

Можно ли складывать цифры несколько раз?

Да. Для 98 765 сумма цифр 35, а у 35 сумма 8. Оба числа дают одинаковый остаток при делении на 9 и на 3, так что можно складывать, пока не останется одна цифра. Здесь 8 — значит, ни на 3, ни на 9 не делится.

Зачем ребёнку правило для 11, если его нет в учебнике?

Обязательным его считать не нужно: в ФОП ООО отдельного требования к нему нет, только к делимости в целом. Но оно хорошо показывает, что все правила выводятся из разрядов, а не берутся «с потолка». Для любознательного пятиклассника это интересная задача на полчаса, а не лишняя нагрузка.

Как запомнить, где сумма цифр, а где последние цифры?

Связать с числами 9 и 10: всё, что связано с 9 (это 3 и 9), — по сумме, всё, что связано с 10, 100 и 1 000 (2, 4, 5, 8, 25), — по последним цифрам. Шестёрка — комбинация двух групп.

Делится ли 1 001 на 7?

Да, и это любопытный факт: 1 001 = 7 × 11 × 13. Поэтому любое шестизначное число вида «abcabc», например 254 254, делится сразу на 7, на 11 и на 13 — ведь это трёхзначное число, умноженное на 1 001.