С чего начинается таблица: двойка как сложение числа с самим собой

Столбец на 2: число плюс то же число

В столбце умножения на 2 десять ответов: от 2 до 20. Каждый из них равен сумме двух одинаковых чисел, и многие такие суммы ребёнок знает ещё с 1 класса.

Первые пять ответов совсем простые: 2, 4, 6, 8, 10. Вторая половина начинается с перехода через десяток, и тут полезно заметить, что последние цифры повторяются: 12 оканчивается так же, как 2, 14 — как 4, 16 — как 6. Каждый ответ второй половины ровно на 10 больше ответа первой: 2 × 7 = 2 × 2 + 10 = 14.

Умножение на 2 как сложение одинаковых чисел

Умножение — это короткая запись сложения одинаковых слагаемых: 2 × 6 означает «два раза по шесть», то есть 6 + 6. Двойка — самый наглядный столбец, на котором этот смысл легко показать.

По ФОП начального общего образования табличное умножение изучают во 2 классе^[1], а сложение в пределах 20 с переходом через десяток — в 1 классе. Значит, к началу умножения на 2 ребёнок уже складывал 6 + 6, 7 + 7, 8 + 8 и 9 + 9. Нужно только связать знакомые суммы с новой записью; приказ о программе прямо ставит эти темы друг за другом. Удобно выписать их рядом: слева сумма, справа умножение, и попросить ребёнка найти общее.

Исследования Гальперина о поэтапном формировании действий советуют начинать именно с предметов. Пусть ребёнок сам составляет примеры: две кучки по 4 карандаша — это 4 + 4 и 2 × 4. Когда запись придумана своими руками, смысл умножения становится понятным, а не заученным. Важно, чтобы в каждой кучке было одинаковое количество: умножение работает только для равных групп.

«Двойку можно пропустить, она слишком лёгкая». Это не подтверждается: на ней ребёнок впервые связывает сложение одинаковых чисел с умножением, и без этого шага следующие столбцы превращаются в набор непонятных ответов.

Все ответы чётные: окончания 2, 4, 6, 8, 0

Любой ответ на 2 — чётное число, то есть делится на 2 без остатка. Последняя цифра у таких чисел бывает только 0, 2, 4, 6 или 8.

Это правило работает как фильтр. Ребёнок ответил «2 × 8 = 15»? Ответ нечётный, значит, ошибка. Ответ «2 × 7 = 13» тоже отпадает сразу. Проверка по последней цифре не называет правильный ответ, но учит сомневаться в результате и пересчитывать его. Подробно о чётных и нечётных числах — в материале чётные и нечётные числа для младших школьников.

Окончания идут по кругу 2, 4, 6, 8, 0 дважды. Если ребёнок проговаривает этот круг, он может проверить любой ответ: седьмой по счёту ответ оканчивается на 4, значит, 2 × 7 — это 14, а не 12 или 16.

«Бывает, что при удвоении получается нечётное число». Такого не существует: число, сложенное с самим собой, всегда даёт чётную сумму, при любом исходном числе.

Пары вокруг нас

Пара — это два одинаковых предмета, и в быту пар очень много: носки, варежки, ботинки, глаза, уши. Каждая такая пара — готовая задача умножения на 2: одна пара — два предмета.

Для младшего школьника, у которого ведущей становится учебная деятельность, а игра ещё сохраняет силу (по Эльконину^[2]), такие задачи — мост между бытом и уроком. Разбирая бельё после стирки, спросите: «Тут 5 пар носков. Сколько всего носков?» Ребёнок считает 2 × 5 = 10 и тут же проверяет, пересчитав. Каждая новая пара в вопросе — и смысл умножения закрепляется без отдельного урока.

Трудные примеры умножения на 2: переход через десяток

Труднее всего удвоить 6, 7, 8 и 9: ответы 12, 14, 16 и 18 требуют перехода через десяток. Именно на этих четырёх примерах появляется большая часть ошибок двойки.

• 6 + 6 = 12. До десяти не хватает 4, остаётся ещё 2: 10 + 2.
• 7 + 7 = 14. До десяти не хватает 3, остаётся 4: 10 + 4. Типичная ошибка — 12.
• 8 + 8 = 16. До десяти не хватает 2, остаётся 6: 10 + 6.
• 9 + 9 = 18. До десяти не хватает 1, остаётся 8: 10 + 8. Путают с 16.

Если переход через десяток не закреплён, удвоение будет давать сбои. В таком случае вернитесь к составу числа 10 и к сложению с переходом. Правило «сколько до десяти и сколько осталось» подробно разобрано в статье переход через десяток с примерами.

Деление на 2 — это половина

Разделить на 2 — это найти половину: 14 : 2 = 7, потому что 7 + 7 = 14. Деление в этом столбце — то же удвоение, прочитанное в обратную сторону.

Половину удобно показывать на предметах: 16 конфет разложить поровну на двоих, по одной в каждую сторону. У каждого окажется 8. Затем то же записывают как 16 : 2 = 8 и сравнивают с 2 × 8 = 16. Учить таблицу деления на 2 отдельно не нужно: если удвоение выучено, половина находится сама.

Позже деление пополам пригодится для четвёрки и восьмёрки: делить на 4 — это дважды пополам, на 8 — трижды. Поэтому деление на 2 стоит довести до уверенности уже сейчас.

Двойка как первая ступенька к 4 и 8

Столбец на 2 — это фундамент сразу для двух следующих: ответ на 4 равен удвоенному ответу на 2, а ответ на 8 — дважды удвоенному ответу на 4. Например, 2 × 7 = 14, 4 × 7 = 28, 8 × 7 = 56.

Чем прочнее выучена двойка, тем легче даются четвёрка и восьмёрка. Переходить к ним стоит, когда ребёнок называет удвоение любого числа до 10 сразу, без пересчёта на пальцах. Разбор следующего шага — на странице таблица умножения на 4 через два удвоения.

Ошибка «умножил как сложил»

Ошибка «умножил как сложил» — это когда вместо 2 × 3 ребёнок считает 2 + 3 и получает 5. На двойке она особенно частая, потому что знаки × и + стоят рядом в каждом объяснении.

Помогает проговаривание смысла: не «два умножить на три», а «два раза по три», то есть 3 + 3 = 6. Если ребёнок путает знаки, дайте ему пару примеров рядом: 2 + 3 и 2 × 3, 2 + 5 и 2 × 5. Разница видна сразу, и ошибка исчезает за несколько занятий. Выготский советовал помогать подсказкой к способу, а не к ответу, и здесь это особенно уместно. Ругать за ошибку не стоит: это не невнимательность, а признак того, что смысл умножения ещё не закрепился.

Когда таблица на 2 ещё не нужна

Учить таблицу на 2 рано, если у ребёнка не закреплены навыки, на которые она опирается. Вот четыре ситуации, когда лучше подождать.

• Сложение в пределах 20 ещё с ошибками. Если 7 + 7 или 8 + 8 решаются дольше 5 секунд, сначала нужен переход через десяток.
• Ребёнку 5–6 лет и он не ходит в школу. Знакомство с парами предметов полезно, а заучивание таблицы рано.
• Ребёнок не понимает, что такое равные группы. Пока 3 кучки по 2 не отличаются для него от кучек по 1, 2 и 3, запись умножения бессмысленна.
• Счёт до 20 с пропусками. Если ребёнок сбивается после 12, сначала закрепите сам порядок чисел.

Чего делать нельзя с первым столбцом

Нельзя превращать первый столбец таблицы в зубрёжку: от него зависит отношение ребёнка ко всей таблице. Несколько правил для взрослых.

• Нельзя начинать с записи, пропустив предметы. Сначала пары и кучки, потом знак умножения.
• Не стоит требовать скорость в первые дни. Точность важнее, темп придёт сам.
• Не следует подсказывать готовый ответ. Спросите: «Сколько будет семь и ещё семь?»
• Нельзя ругать за ошибку 2 × 3 = 5. Тревога встречается уже в 1–2 классе и связана с более низкими результатами^[3].
• Не стоит заниматься долго за один раз. Короткие повторения в разные дни закрепляют лучше^[4].

Источники

[1] Приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 372 «Об утверждении федеральной образовательной программы начального общего образования».

[2] Эльконин Д. Б. К проблеме периодизации психического развития в детском возрасте // Вопросы психологии. 1971. № 4.

[3] Ramirez G., Gunderson E. A., Levine S. C., Beilock S. L. Math anxiety, working memory, and math achievement in early elementary school // Journal of Cognition and Development. 2013. Vol. 14, № 2. P. 187–202.

[4] Cepeda N. J., Pashler H., Vul E., Wixted J. T., Rohrer D. Distributed practice in verbal recall tasks: A review and quantitative synthesis // Psychological Bulletin. 2006. Vol. 132, № 3. P. 354–380.

[5] Rohrer D., Taylor K. The shuffling of mathematics problems improves learning // Instructional Science. 2007. Vol. 35, № 6. P. 481–498.

Вопросы и ответы

С какого столбца лучше начинать таблицу?

Обычно с двойки: удвоение ребёнок знает по сложению в 1 классе. Порядок чисел ФОП не устанавливает, как и нормы скорости, его выбирают учебник и учитель, но почти всегда первым идёт именно этот столбец.

Почему 2 × 5 и 5 × 2 дают одно и то же?

Две кучки по пять яблок и пять кучек по два яблока — это одни и те же десять яблок, просто разложенные иначе. От перестановки множителей произведение не меняется.

Ребёнок знает ответы, только если считает по порядку. Как быть?

Давайте примеры вразбивку: карточки, кубик или режим «20 примеров» в тренажёре. Когда ответ приходится находить без цепочки, он быстрее запоминается. Перемешанные задачи по исследованию Rohrer и Taylor дают лучший итоговый результат^[5].

Что значит «удвоить» и «уменьшить вдвое»?

Удвоить — увеличить в 2 раза, то есть прибавить число к самому себе: удвоить 8 — получить 16. Уменьшить вдвое — найти половину: половина от 16 — это 8. Эти действия обратны друг другу.

Нужно ли учить умножение на 1 и на 10 вместе с двойкой?

Да, эти факты стоит объяснить сразу. Любое число, умноженное на 1, остаётся собой, а на 10 — получает ноль на конце. Тогда 2 × 1 = 2 и 2 × 10 = 20 не придётся учить отдельно.

Сколько дней нужно на этот столбец?

Обычно 2–3 занятия по 10 минут, если сложение в пределах 20 уже уверенное. Потом повторяйте понемногу через день. Ориентир — 9 верных ответов из 10 вразбивку в тренажёре.