Как считать внетабличные примеры: разложение на разрядные слагаемые

Что такое внетабличные случаи и когда их проходят

Внетабличные случаи — это примеры в пределах 100, где один из множителей двузначный: 17 × 5, 3 × 24, 91 : 7. По ФОП НОО их изучают в 3 классе, сразу после табличного умножения и деления^[1].

В таблице множители не больше 10, и любой ответ можно вспомнить. Программа ФОП НОО отводит таблице 2 класс, а следующему шагу — 3 класс. Во внетабличных примерах вспоминать уже нечего: 16 × 6 никто не заучивает, его вычисляют. Для этого двузначное число делят на удобные части, с каждой частью выполняют табличное действие и складывают результаты. Таких частей обычно две — десятки и единицы, поэтому способ называют разложением на разрядные слагаемые.

Внетабличное умножение держится на двух опорах. Первая — уверенная таблица: в примере 38 × 2 ребёнок должен мгновенно знать 3 × 2 и 8 × 2. Вторая — умножение и деление круглых десятков: 30 × 2 = 60, 80 : 4 = 20. Если хотя бы одна опора шатается, пример превращается в длинную и ненадёжную цепочку, поэтому начинать стоит с проверки обеих.

Внетабличное умножение на однозначное число

Чтобы умножить двузначное число на однозначное, умножают отдельно десятки и единицы, а затем складывают: 23 × 4 = 20 × 4 + 3 × 4 = 80 + 12 = 92.

1. Разложите число. 23 = 20 + 3.
2. Умножьте десятки. 20 × 4 — это 2 десятка × 4 = 8 десятков, то есть 80.
3. Умножьте единицы. 3 × 4 = 12.
4. Сложите. 80 + 12 = 92.

Почему так можно? В учебниках по ФОП НОО это правило называют умножением суммы на число. Умножить сумму на число — всё равно что умножить каждое слагаемое и сложить результаты. Это распределительное свойство, и его легко показать на рисунке: 23 ряда по 4 клетки делятся на 20 рядов и 3 ряда, всего клеток столько же. Ещё несколько примеров для самопроверки: 17 × 5 = 50 + 35 = 85; 14 × 6 = 60 + 24 = 84; 29 × 3 = 60 + 27 = 87.

Если однозначный множитель стоит первым, как в 3 × 24, сначала переставьте множители. От перестановки произведение не меняется, а считать 24 × 3 = 60 + 12 = 72 привычнее. Числа вида 19 или 29 удобно брать через круглое: 29 × 3 = 30 × 3 − 3 = 87. Это уже не разрядные слагаемые, а разность, и вводить её стоит только после того, как основной способ освоен.

Деление двузначного числа на однозначное

Чтобы разделить двузначное число, его раскладывают на слагаемые, каждое из которых делится нацело, и делят по частям: 96 : 3 = 90 : 3 + 6 : 3 = 30 + 2 = 32.

Главная тонкость деления в том, что разрядные слагаемые подходят не всегда. В 84 : 4 и 96 : 3 десятки делятся сразу. А в 72 : 3 разложение 70 + 2 не работает: 70 на 3 нацело не делится. Тогда ищут самое большое удобное слагаемое из таблицы: 72 = 60 + 12, и 60 : 3 + 12 : 3 = 20 + 4 = 24. Тот же приём для 52 : 4 даёт 40 + 12, то есть 10 + 3 = 13, а для 78 : 3 — 60 + 18 и ответ 26.

Правило выбора не требует перебора: первое слагаемое — наибольшее круглое число, которое делится на делитель и не больше делимого. Для делителя 4 это 40 или 80, для 7 — 70, для 6 — 60. Остаток делимого затем почти всегда оказывается табличным случаем.

Деление на двузначное число подбором

Если делитель двузначный, как в 85 : 17, частное подбирают: пробуют однозначное число и проверяют умножением. 17 × 5 = 85, значит 85 : 17 = 5.

Подбор ускоряет прикидка по последней цифре и по десяткам. В 96 : 32 делимое примерно втрое больше делителя (90 и 30), пробуем 3: 32 × 3 = 96 — подошло. В 84 : 21 пробуем 4: 21 × 4 = 84. Если первая проба дала слишком много или мало, сдвигаемся на единицу вниз или вверх. Подбор — хорошая тренировка обратного действия, но опирается он на то же внетабличное умножение, поэтому вводить его раньше умножения двузначного на однозначное бессмысленно.

Частые ошибки и как их поймать

Почти все ошибки в этой теме — 4 типа: склеивание результатов, потерянный разряд, неудобное разложение при делении и забытая проверка.

• Склеивание. 23 × 4 = 812: ребёнок умножил 2 × 4 и 3 × 4 и записал результаты рядом. Лечится проговариванием «двадцать на четыре — восемьдесят».
• Потерянный разряд. 38 × 2 = 66: удвоены 3 и 8, но 16 сложено как 6. Помогает запись промежуточных результатов: 60 + 16.
• Неудобное разложение. 72 : 3 через 70 + 2 — ребёнок застревает. Напомните правило наибольшего круглого числа, которое делится.
• Нет проверки. После деления полезно умножить ответ на делитель: 24 × 3 = 72 — верно.

Проверку обратным действием стоит превратить в привычку с первого дня, и исследования памяти это поддерживают: самопроверка закрепляет навык лучше повторного чтения. Она занимает несколько секунд и ловит большинство ошибок деления. Для внетабличного умножения подходит прикидка: 23 × 4 близко к 20 × 4 = 80, поэтому ответ 812 сразу выглядит нелепо. Если ребёнок не видит этого сам, вернитесь к разряду десятков и к теме разряды и классы числа: без понимания, что 2 в числе 23 означает 20, способ не держится.

«Внетабличные примеры надо решать только столбиком, иначе учитель снизит оценку». Это миф: в 3 классе такие примеры как раз учат решать устно, с записью разложения в строчку. Письменное умножение и деление столбиком по программе появляется позже.

Тренажёр внетабличного умножения и деления

Тренажёр под статьёй даёт вперемешку примеры на умножение двузначного числа на однозначное от 2 до 6 и обратные им примеры на деление, все в пределах 100.

Выберите режим «20 примеров», если цель — точность, или «60 секунд», если ребёнок уже не ошибается и пора ускоряться. После кнопки «Начать» ответ вводится в поле и подтверждается клавишей Enter; тренажёр сразу показывает «Верно» или «Правильно: …». В итогах — число верных ответов, точность, секунд на пример, список ошибок и совет. Последние 6 тренировок видны под кнопкой.

Разумная цель на первые две недели — не скорость. Ориентир — точность от 90% в режиме «20 примеров» при любом темпе, ведь ФОП НОО не задаёт нормативов скорости счёта. Время на пример само сократится, когда разложение станет автоматическим. Если в списке ошибок сплошь деление, а умножение верное, значит, не хватает выбора удобного слагаемого — потренируйте его устно на 5–6 примерах из таблицы выше.

«Кто быстро решает такие примеры, тот хорошо понимает математику». Такая связь не подтверждается: скорость показывает, насколько автоматизирован один навык. Понимание проверяют иначе — например, просьбой объяснить, почему 23 × 4 можно разбить на 80 и 12.

Когда этот способ не подходит

Не каждый пример стоит решать разложением: в 4 ситуациях выгоднее другой путь или сначала нужна подготовка.

• Таблица на 6–9 ещё не выучена. Пример 17 × 8 развалится на шаге 7 × 8; сначала доучите таблицу.
• Множитель близок к круглому: 19, 29, 49. Быстрее через разность: 49 × 2 = 100 − 2 = 98.
• Произведение больше 1 000 или множители трёхзначные. Это письменное умножение 4 класса, удерживать столько промежуточных чисел в уме тяжело.
• Деление не нацело, например 75 : 4. Здесь нужен другой раздел 3 класса — деление с остатком: 75 : 4 = 18 (ост. 3).

Табличная база для этой темы разобрана на странице таблица деления и треугольники фактов, а следующий шаг после этой темы — умножение двузначных чисел в уме, где разложение применяют уже к обоим множителям.

Чего делать нельзя

Нельзя сводить тему к натаскиванию на ответы: способ ценен тем, что одинаково работает для любых чисел. Шесть ограничений для занятий дома.

• Нельзя пропускать запись разложения в первые недели: строчка «20 × 4 + 3 × 4» показывает, где ошибка.
• Не следует давать деление раньше умножения того же вида: деление опирается на выбор удобного слагаемого.
• Не стоит учить «трюки» вместо основного способа. Разность через круглое число — дополнение, а не замена.
• Нельзя включать таймер при точности ниже 90%. Спешка закрепит склеивание результатов.
• Не стоит решать по 40 однотипных примеров. По данным исследования Rohrer и Taylor, перемешанные задачи запоминаются прочнее, чем блоки одного вида^[2].
• Не допускается ругать за медленный счёт: тревога занимает рабочую память, которой и так мало при удержании двух частей^[3].

Источники

[1] Приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 372 «Об утверждении федеральной образовательной программы начального общего образования».

[2] Rohrer D., Taylor K. The shuffling of mathematics problems improves learning // Instructional Science. 2007. Vol. 35, № 6. P. 481–498.

[3] Ashcraft M. H. Math anxiety: Personal, educational, and cognitive consequences // Current Directions in Psychological Science. 2002. Vol. 11, № 5. P. 181–185.

Вопросы и ответы

Чем эти примеры отличаются от табличных?

Табличное — это произведения однозначных чисел и обратное им деление, их помнят наизусть. Во всех остальных примерах в пределах 100 хотя бы одно число двузначное, и ответ приходится вычислять по частям.

Как объяснить ребёнку, почему 23 × 4 = 80 + 12?

Возьмите 4 стопки по 23 монеты: в каждой две десятки и три рубля. Сначала посчитайте все десятки — их 8, это 80, потом рубли — их 12. Всего 92. После такой раскладки запись перестаёт казаться фокусом.

Почему 72 : 3 не получается через 70 + 2?

Потому что 70 на 3 нацело не делится, и первая часть сразу даёт неудобный результат. Возьмите вместо 70 ближайшее меньшее число, которое делится на 3, — это 60. Остаётся 12, а 12 : 3 = 4, поэтому ответ 24.

Можно ли решать такие примеры столбиком?

Можно, и в 4 классе так и будут делать с многозначными числами. Но в пределах 100 устный способ быстрее и лучше показывает смысл разрядов. Столбик полезно оставить для проверки, если ответ вызывает сомнения.

Ребёнок умножает правильно, но медленно. Это нормально?

Да, в первые 2–3 недели нормально тратить по 10–15 секунд на пример: ребёнок проговаривает каждый шаг. Темп растёт сам, когда части начинают считаться без записи. Подгонять раньше времени не нужно.

Как проверить ответ без калькулятора?

Для деления — умножением: если 91 : 7 = 13, то 13 × 7 должно дать 91. Для умножения — прикидкой по десяткам: 17 × 5 лежит между 10 × 5 = 50 и 20 × 5 = 100, и ответ 85 в этот промежуток попадает.