Как перемножить два двузначных числа без столбика: 4 способа

Умножение двузначных чисел: четыре способа

Для двузначных чисел есть 4 рабочих способа, и выбор зависит от самих множителей. Таблица помогает быстро понять, какой подходит к конкретному примеру.

Универсален только первый способ, остальные — ускорители для частных случаев, и без основного способа они не работают. Поэтому начинать стоит именно с разложения по разрядам: оно опирается на то же распределительное свойство, что и внетабличное умножение 3 класса, и не требует ничего нового. Крест и особые пары имеет смысл вводить, когда основной способ стал привычным.

По разрядам: 23 × 14 и 37 × 21

Чтобы умножить двузначное число на двузначное по разрядам, второй множитель раскладывают на десятки и единицы, умножают на каждую часть и складывают: 23 × 14 = 230 + 92.

1. Разложите меньший множитель. 14 = 10 + 4.
2. Умножьте на десятки. 23 × 10 = 230.
3. Умножьте на единицы. 23 × 4 = 92 — это двузначное число на однозначное.
4. Сложите. 230 + 92 = 322.

Раскладывать выгодно тот множитель, у которого меньше десятков: тогда первое произведение получается умножением на 10 или 20. Для 37 × 21 это 37 × 20 + 37 × 1 = 740 + 37 = 777. Для 64 × 12 — 640 + 128 = 768. Если оба множителя больше 30, например 58 × 42, промежуточные числа становятся крупными: 58 × 40 = 2 320, 58 × 2 = 116, сумма 2 436. Считать можно, но удерживать уже труднее, и не стоит начинать с таких пар.

В тренажёре на этой странице первый множитель от 12 до 49, а второй от 11 до 29, и разбор «Как решать» показывает именно этот способ: умножение на десятки, на единицы и сумму. Подбор чисел не случаен: при втором множителе до 29 оба промежуточных произведения легко удержать в уме.

Крестом: ответ цифра за цифрой

Умножение крестом — это способ, где ответ собирают справа налево: сначала единицы на единицы, потом сумма «крестовых» произведений, потом десятки на десятки, с переносом между шагами.

Разберём 36 × 27. Единицы: 6 × 7 = 42 — пишем 2, 4 в уме. Крест: 3 × 7 + 6 × 2 = 21 + 12 = 33, плюс 4 — 37: пишем 7, 3 в уме. Десятки: 3 × 2 = 6, плюс 3 — 9. Ответ 972. Тот же расчёт для 23 × 14: 3 × 4 = 12 → 2, единица в уме; 2 × 4 + 3 × 1 = 11, плюс 1 = 12 → 2, единица в уме; 2 × 1 + 1 = 3. Ответ 322 — совпадает с первым способом.

Откуда крест? Если записать множители как 10a + b и 10c + d, произведение равно 100ac + 10 × (ad + bc) + bd. Сотни дают десятки на десятки, десятки — сумма крестовых произведений, единицы — единицы на единицы. Это то же умножение в столбик, только без записи промежуточных строк, поэтому крест удобен на бумаге, когда хочется сразу написать ответ. В уме он требует держать перенос, поэтому его не стоит давать первым — многим проще способ по разрядам.

Через удобное число: 46 × 25 и 48 × 19

Если один множитель — 25, 50 или стоит рядом с круглым числом, выгоднее приём через круглое: 46 × 25 = 46 : 4 × 100 = 1 150, а 48 × 19 = 48 × 20 − 48 = 912.

Для 25 работает связь 4 × 25 = 100. 46 : 4 = 11,5, и 11,5 × 100 = 1 150. Если дробь пугает, дробь не нужна: можно взять 46 × 100 : 4 = 4 600 : 4 = 1 150. Для множителей 19, 29, 39 удобно вычитание: 72 × 18 = 72 × 20 − 72 × 2 = 1 440 − 144 = 1 296. А иногда помогает перегруппировка множителей: 28 × 35 = 7 × 4 × 35 = 7 × 140 = 980. Чтобы её заметить, полезно видеть множители внутри чисел, а это тема 5–6 класса по ФОП основного общего образования^[1].

Подробнее приёмы для 25 и 50 разобраны в статье умножение на 5 и 25 в уме, а для 9, 19 и 99 — в материале умножение на 9 и 99 через круглое число.

Особые пары двузначных чисел: одинаковые десятки и симметрия

Если у двух чисел одинаковые десятки, а единицы в сумме дают 10, ответ пишется сразу: десятки умножают на следующее число, а к результату приписывают произведение единиц. 43 × 47 → 4 × 5 = 20 и 3 × 7 = 21 → 2 021.

Ещё пример: 62 × 68 → 6 × 7 = 42 и 2 × 8 = 16 → 4 216. Если произведение единиц однозначное, его пишут с нулём впереди: 81 × 89 → 8 × 9 = 72 и 1 × 9 = 09 → 7 209. Этот приём — обобщение правила для квадрата числа на 5: 35 × 35 тоже подходит под условие, ведь 5 + 5 = 10.

Числа, симметричные относительно круглого, перемножаются через разность квадратов: 47 × 53 = (50 − 3) × (50 + 3) = 2 500 − 9 = 2 491. Так же 34 × 26 = 900 − 16 = 884 и 39 × 41 = 1 600 − 1 = 1 599. Формула разности квадратов — из 7 класса, но пользоваться ею можно и раньше, если знать квадраты круглых чисел. Квадраты от 11 до 25 стоит держать в памяти, они собраны на странице таблица квадратов с подсказками.

«Существует один универсальный способ, который мгновенно перемножает любые двузначные числа в уме». Такого способа не существует: все приёмы раскладывают пример на табличные произведения, и быстрыми бывают только частные случаи — с круглыми числами, симметричными парами или одинаковыми десятками.

Как не потерять промежуточный результат

Главная трудность счёта в уме — не умножение, а удержание: пока считаешь второе произведение, первое норовит забыться. Нагрузку снижают 3 простых правила.

• Считайте крупное первым. 230 запоминается легче, чем 92, поэтому сначала десятки.
• Складывайте сразу. Не держите два числа, а прибавляйте второе произведение к первому по частям: 230 + 90 + 2.
• Проговаривайте. Шёпотом названное число держится лучше, чем «увиденное»; по Гальперину речь — промежуточный этап перед счётом про себя^[2].

Рабочая память у всех ограничена, и тренировка одного вида задач не расширяет её в целом. Метаанализ исследований тренировки рабочей памяти показал, что эффекты в основном остаются в пределах похожих заданий^[3]. Поэтому смысл занятий — не «прокачать память», а научиться раскладывать пример так, чтобы держать одновременно не больше двух чисел.

«Умножение больших чисел в уме развивает память и интеллект». Это не подтверждается исследованиями переноса: тренировка улучшает именно тот навык, который тренируют^[4]. Счёт в уме полезен сам по себе, без обещаний сверх этого.

Тренажёр «двузначное на двузначное»

Под статьёй карточка с примерами вида 34 × 17: первый множитель от 12 до 49, второй от 11 до 29. Есть поле ответа, кнопки «Проверить», «Другой пример» и «Как решать».

Решайте сначала с записью промежуточных чисел на листке, затем — только с записью ответа. Если ответ неверный, откройте «Как решать» и сравните свои шаги с разбором: ошибка почти всегда в одном из двух произведений или в их сумме. Цель первой недели — 10 верных ответов подряд без бумаги.

Когда счёт в уме не подходит

Не каждое произведение разумно считать без бумаги: в 4 случаях запись надёжнее и быстрее.

• Оба множителя больше 50, например 67 × 84. Промежуточные числа четырёхзначные, риск потерять одно из них высок.
• Ученик 4 класса и младше. По ФОП НОО в 4 классе учат письменное умножение на двузначное число; устный способ — дополнение, а не замена.
• Таблица на 6–9 не автоматизирована. Каждое из 2–4 табличных произведений будет тормозить, и цепочка развалится.
• Ответ нужен точно и без проверки, например в контрольной из 20 заданий. Посчитайте в уме, но проверьте записью или прикидкой.

Чего делать нельзя

Нельзя учить четыре способа одновременно — ребёнок начнёт смешивать их шаги. Шесть ограничений для занятий.

• Нельзя переходить к кресту, пока способ по разрядам не идёт уверенно.
• Не стоит отказываться от письменного умножения в школе: ход решения на уроке оценивается.
• Не следует сдавать ответ без прикидки: 46 × 25 близко к 50 × 25 = 1 250.
• Нельзя держать в голове три и больше промежуточных числа — складывайте сразу.
• Не стоит гнаться за временем в первые две недели: сначала 10 верных ответов подряд.
• Не допускается обещать ребёнку, что приёмы «прокачают мозг». Это неправда, и разочарование отобьёт интерес.

Источники

[1] Приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 370 «Об утверждении федеральной образовательной программы основного общего образования».

[2] Гальперин П. Я. Развитие исследований по формированию умственных действий // Психологическая наука в СССР. Т. 1. М., 1959.

[3] Melby-Lervåg M., Hulme C. Is working memory training effective? A meta-analytic review // Developmental Psychology. 2013. Vol. 49, № 2. P. 270–291.

[4] Sala G., Gobet F. Does far transfer exist? Negative evidence from chess, music, and working memory training // Current Directions in Psychological Science. 2017. Vol. 26, № 6. P. 515–520.

Вопросы и ответы

Какой множитель раскладывать?

Тот, у которого меньше десятков или который ближе к круглому. В 23 × 14 выгоднее разложить 14: умножение на 10 мгновенное. В 37 × 21 — 21, потому что 37 × 20 и 37 × 1 считаются легко.

Почему у меня вышло 2 312 вместо 322?

Похоже, произведения 23 × 10 и 23 × 4 записаны рядом, а не сложены: «23» и «12» или «230» и «92» склеились. Помогает проговаривать слово «плюс» между частями: «двести тридцать плюс девяносто два».

Работает ли приём одинаковых десятков для 52 × 58?

Да: десятки одинаковые, единицы 2 + 8 = 10. Считаем 5 × 6 = 30 и 2 × 8 = 16, приписываем — 3 016. Проверка через разность квадратов: 55² − 3² = 3 025 − 9 = 3 016.

С какого класса учить счёт без бумаги?

Способ по разрядам доступен с конца 4 класса, когда ребёнок уверенно умножает двузначное на однозначное. Крест и особые пары удобнее с 5–6 класса, разность квадратов — с 7 класса.

Как проверить произведение двузначных чисел?

Прикидкой и последней цифрой. 36 × 27 близко к 40 × 25 = 1 000, ответ 972 правдоподобен. Последняя цифра произведения равна последней цифре произведения единиц: 6 × 7 = 42, значит, ответ оканчивается на 2.

Сколько времени нормально тратить на пример?

В первые недели 20–30 секунд — нормально, особенно с проговариванием. Нормативов скорости ни ФГОС, ни ФОП не задают, поэтому важнее точность. Темп растёт сам, когда разложение становится привычным.