Чётность чисел: правила суммы и произведения для проверки ответа

Что такое чётные числа и нечётные

Чётное число — это число, которое можно разделить на 2 без остатка, то есть записать как 2 × k: 0, 2, 4, 36, 1 058. Нечётное число на единицу больше чётного и записывается как 2 × k + 1: 1, 7, 49, 2 023.

Ребёнку проще всего объяснить чётность через пары. Если предметы можно разложить по парам и никто не останется без пары — их чётное количество. Если один остался лишним — нечётное. Шесть носков — три пары, чётное число. Семь конфет — три пары и одна лишняя, нечётное. Такое объяснение подходит даже дошкольнику, потому что не требует деления. По ФОП ДО в детском саду дети сравнивают группы предметов и считают их в игровой форме, и пары — естественное продолжение.

Чётные и нечётные числа чередуются на числовой прямой: 1, 2, 3, 4… — нечётное, чётное, нечётное, чётное. Поэтому среди любых двух соседних чисел ровно одно чётное. Отсюда простой вывод, полезный в задачах: произведение двух соседних чисел всегда чётное, ведь один из множителей делится на 2. Например, 15 × 16 = 240, 17 × 18 = 306.

По ФОП НОО табличное умножение и деление изучают во 2 классе^[1], и именно таблица умножения на 2 впервые показывает чётные числа как ряд: 2, 4, 6, 8, 10, 12. Подробнее об этом ряде — в материале о таблице умножения на 2. А делимость как отдельную тему изучают в 5–6 классе по ФОП ООО^[2].

«Ноль — ни чётное, ни нечётное число». Это миф: 0 делится на 2 без остатка, 0 = 2 × 0, поэтому ноль чётный. На числовой прямой он стоит между нечётными −1 и 1, как и положено чётному числу.

Как определить чётность по последней цифре

Чётность любого числа определяется только его последней цифрой: если она 0, 2, 4, 6 или 8, число чётное, если 1, 3, 5, 7 или 9 — нечётное. Остальные цифры на ответ не влияют.

Почему так? Любое число можно разбить на «десятки» и последнюю цифру: 3 847 = 3 840 + 7. Число 3 840 — это 384 десятка, а каждый десяток делится на 2. Значит, чётность всего числа зависит только от 7, а 7 нечётное. Поэтому 3 847 нечётное, даже если все остальные цифры чётные. Этот признак — самый простой из признаков делимости, о которых подробно рассказано в статье о признаках делимости на 2, 3, 5 и 9.

Частая ошибка — смотреть на первую цифру или на «большинство цифр», хотя они ничего не решают. Число 2 461 начинается с чётной двойки и содержит три чётных цифры из четырёх, но оно нечётное. Полезно сразу дать ребёнку несколько таких «ловушек» и попросить объяснить ответ, а не только назвать его.

Чётность суммы и разности

Если оба слагаемых одной чётности, сумма чётная; если разной — нечётная. Для разности правило то же самое, потому что вычитание чётность меняет так же, как сложение.

Правило для пар объясняется теми же носками. Две нечётные кучки — у каждой по одному лишнему носку, а вместе эти два лишних образуют пару, и никто не остаётся без пары. Поэтому нечётное плюс нечётное даёт чётное.

Для многих слагаемых правило такое: чётность суммы зависит только от количества нечётных слагаемых. Если их чётное количество, сумма чётная, если нечётное — нечётная. В сумме 13 + 27 + 35 + 41 + 19 пять нечётных слагаемых, поэтому результат нечётный, и действительно получается 135. А сумма 1 + 2 + … + 10 содержит пять нечётных (1, 3, 5, 7, 9) и равна 55 — тоже нечётная.

«Если сложить нечётные числа, получится нечётное». Это миф: всё зависит от того, сколько их. Два нечётных дают чётное (3 + 5 = 8), три — нечётное (3 + 5 + 7 = 15), четыре — снова чётное.

Чётность произведения и связь с таблицей умножения

Произведение чётное, если хотя бы один множитель чётный, и нечётное, только если все множители нечётные: 9 × 7 × 5 = 315 нечётное, а 9 × 7 × 4 уже чётное.

В таблице умножения 10 × 10 это видно наглядно. Строки и столбцы для 2, 4, 6, 8 и 10 целиком чётные. Нечётные произведения стоят только на пересечении нечётных строк и столбцов: 1, 3, 5, 7, 9 по строкам и те же по столбцам — 5 × 5 = 25 клеток из 100. Значит, три четверти таблицы — чётные результаты. Если ребёнок назвал 7 × 8 = 55, ошибку видно сразу: семь на восемь должно быть чётным. Без таблицы умножения, которую по ФОП НОО учат во 2 классе, это правило не заработает.

Отсюда ещё одно полезное следствие: квадрат нечётного числа нечётный, а квадрат чётного — чётный. 13 × 13 = 169, 14 × 14 = 196. Это помогает при проверке квадратов и в задачах с площадью. Квадраты и степени по ФОП ООО изучают в 5–6 классе.

Как проверить ответ правилом пар

Чтобы проверить ответ этим способом, до вычисления решают, каким должен быть результат — чётным или нечётным, — и сравнивают с полученным. Если 347 × 26 дало 9 023, это ошибка: один множитель чётный, а ответ нечётный.

Верный ответ здесь 9 022. Такая проверка занимает не более секунды и находит ошибку в последней цифре, если она поменяла чётность. Но она пропускает ошибки, которые не превращают чётную последнюю цифру в нечётную: 9 024 и 9 020 она бы не отличила от верного. Поэтому её используют вместе с прикидкой и проверкой по сумме цифр, о которой рассказывает материал о проверке ответа цифровым корнем.

Правило пар решает и целые задачи. Можно ли набрать 24 рубля ровно пятью монетами по 1, 3 и 5 рублей? Нет: все номиналы нечётные, сумма пяти нечётных монет нечётная, а 24 чётное. Перебирать варианты не нужно — ответ «нельзя» виден сразу. А 25 рублей пятью монетами набрать можно: 5 + 5 + 5 + 5 + 5.

Игры с парами для дома и дороги

Игра — ведущая деятельность дошкольника, а у младшего школьника ведущей становится учебная, как описывал Эльконин^[3]; поэтому для детей 5–7 лет пары и «лишний» лучше вводить в игре, а для школьников — в коротких задачах-загадках.

• «Чёт или нечет». Двое одновременно показывают пальцы на одной руке, третий до подсчёта угадывает, чётной будет сумма или нет. Сначала считают, потом угадывают по правилу.
• Номера машин. В дороге называйте, чётный номер или нет, по последней цифре; усложнение — то же для суммы двух последних цифр.
• Карты. Вытяните две карты и скажите, чётным будет произведение или нет, ещё до умножения.
• Пары носков. Для малышей: разложите предметы по парам и посмотрите, остался ли лишний.

Больше игр для разных возрастов — в подборке игр на устный счёт.

Когда правило пар не поможет

Это грубая проверка, и в нескольких случаях она бесполезна, поэтому полагаться только на неё не стоит.

• Ошибка на 2, 4 или 10. 9 024 вместо 9 022 — обе последние цифры чётные, нужна другая проверка.
• Деление. Частное двух чётных может быть любым: 12 : 4 = 3, а 12 : 6 = 2.
• Десятичные дроби. Для 3,5 или 0,25 понятия «чётное» и «нечётное» не определены, правило работает только для целых.
• Ребёнку меньше 5 лет. До понятия пары достаточно просто считать предметы.

Чего делать нельзя

Нельзя давать эти правила списком для заучивания: без объяснения парами они быстро путаются. Ещё несколько правил.

• Нельзя смотреть на первую цифру. Важна только последняя.
• Не следует говорить, что ноль «никакой». Ноль чётный, и это пригодится в задачах.
• Не стоит считать такую проверку доказательством. Она ловит только ошибки, которые меняют чётность.
• Нельзя переносить правила на деление. Частное двух нечётных может быть и нечётным, и дробью: 15 : 3 = 5, 15 : 7 — не целое.
• Не стоит начинать с формулы 2 × k + 1. Сначала пары и носки, потом запись.

Перемешанные вопросы полезнее однотипных: в исследовании Rohrer и Taylor перемешивание задач дало лучший результат на итоговой проверке^[4]. Чередуйте вопросы про сумму и про произведение в одной серии, а не решайте по 20 одинаковых.

Источники

[1] Приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 372 «Об утверждении федеральной образовательной программы начального общего образования».

[2] Приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 370 «Об утверждении федеральной образовательной программы основного общего образования».

[3] Эльконин Д. Б. К проблеме периодизации психического развития в детском возрасте // Вопросы психологии. 1971. № 4.

[4] Rohrer D., Taylor K. The shuffling of mathematics problems improves learning // Instructional Science. 2007. Vol. 35, № 6. P. 481–498.

Вопросы и ответы

Отрицательные числа бывают чётными?

Да. −4 = 2 × (−2), поэтому −4 чётное, а −7 нечётное. Правило последней цифры работает и для них. Отрицательные числа по программе изучают в 5–6 классе, тогда и стоит обсудить этот вопрос.

Почему 7 × 8 не может быть равно 55?

Восьмёрка чётная, а произведение с чётным множителем всегда чётное. 55 оканчивается на 5, значит, ответ неверный ещё до проверки по таблице. Верно 56 — оно чётное.

Как объяснить правило «нечётное плюс нечётное» семилетке?

Возьмите две кучки носков, в каждой по одному лишнему. Сложите кучки: два лишних носка образуют пару, и лишних не остаётся. Один такой опыт работает лучше любой формулировки, и заучивать правило после него не нужно.

Чётные числа от 1 до 100: сколько их?

Ровно 50: 2, 4, 6 и так до 100. Нечётных тоже 50. Числа чередуются, поэтому в любом ряду из чётного количества подряд идущих чисел чётных и нечётных поровну.

Может ли сумма пяти нечётных чисел быть равна 20?

Нет. Нечётных слагаемых пять — нечётное количество, значит, сумма нечётная, а 20 чётное. Такие задачи-загадки хорошо показывают, что чётность решает задачу без перебора.

Зачем это в старших классах?

Идею пар используют в задачах на доказательство и в олимпиадных задачах, а в 5–6 классе — при изучении делимости. Это одна из первых идей, с которой ребёнок видит, что вывод можно сделать без вычислений.