Ответы восьмёрки и три способа их найти
В столбце умножения на 8 десять ответов от 8 до 80. Рядом с каждым — цепочка удвоений и вычитание из круглого числа, чтобы любой факт можно было проверить двумя путями.
| Пример | Ответ | Три удвоения | 10 × n − 2 × n |
| 8 × 1 | 8 | 1 → 2 → 4 → 8 | 10 − 2 |
| 8 × 2 | 16 | 2 → 4 → 8 → 16 | 20 − 4 |
| 8 × 3 | 24 | 3 → 6 → 12 → 24 | 30 − 6 |
| 8 × 4 | 32 | 4 → 8 → 16 → 32 | 40 − 8 |
| 8 × 5 | 40 | 5 → 10 → 20 → 40 | 50 − 10 |
| 8 × 6 | 48 | 6 → 12 → 24 → 48 | 60 − 12 |
| 8 × 7 | 56 | 7 → 14 → 28 → 56 | 70 − 14 |
| 8 × 8 | 64 | 8 → 16 → 32 → 64 | 80 − 16 |
| 8 × 9 | 72 | 9 → 18 → 36 → 72 | 90 − 18 |
| 8 × 10 | 80 | 10 → 20 → 40 → 80 | 100 − 20 |
Третий способ — переместительность. Если столбцы на 2–7 уже выучены, то 2 × 8, 3 × 8 и так до 7 × 8 ребёнку знакомы. Новыми остаются только 8 × 8 = 64 и 8 × 9 = 72. ФОП начального общего образования не задаёт порядок столбцов, но восьмёрку обычно проходят ближе к концу таблицы, поэтому почти все её ответы уже встречались раньше.
Удвоить, ещё раз удвоить и ещё раз
Удвоить число — это прибавить его к самому себе. Восьмёрка — это три удвоения подряд, и каждый шаг проще самого умножения.
Разберём 8 × 6. Шесть удваиваем — 12. Двенадцать удваиваем — 24. Двадцать четыре удваиваем — 48. Ребёнок держит в голове только одно число, и на каждом шаге оно растёт вдвое. Все три шага одинаковые, поэтому способ легко объяснить. Удобно загибать пальцы: один палец — один шаг, три пальца — готово. Когда шаги станут привычными, пальцы больше не нужны.
Слабое место способа — третий шаг с переходом через десяток. Удвоить 28 или 36 сложнее, чем удвоить 7. Если третий шаг даётся с трудом, отработайте отдельно удвоение чисел от 11 до 40: это пригодится и в таблице, и во внетабличном умножении 3 класса. Связанные приёмы для больших чисел собраны в материале умножение на 4 и 8 удвоением.
Удвоение работает и в обратную сторону. Деление на 8 — это три деления пополам: 56 : 2 = 28, 28 : 2 = 14, 14 : 2 = 7. Значит, 56 : 8 = 7. Ребёнку не нужно вспоминать отдельную таблицу деления.
Десять раз минус два раза
Если 8 = 10 − 2, то произведение 8 × n — это 10 × n без 2 × n: от круглого числа отнимаем удвоенный множитель. Для 8 × 9 это 90 − 18 = 72.
Способ выгоден на больших множителях. Для 8 × 7 нужно три удвоения, а вычитание одно: 70 − 14 = 56. Для 8 × 8 — 80 − 16 = 64. Умножить на 10 ребёнок умеет мгновенно, удвоить однозначное число — тоже, остаётся вычесть.
Вычитание из круглого числа требует навыка «сколько до десятка»: 90 − 18 — это 90 − 10 − 8 = 72. Если такие примеры даются с ошибками, способ не стоит навязывать. Начните с трёх удвоений, а «минус два раза» добавьте позже, когда вычитание из круглых станет уверенным.
«Восьмёрку проще всего учить подряд, прибавляя по 8». Это не подтверждается практикой: прибавлять 8 неудобно, на каждом шаге есть переход через десяток, и ошибка на одном шаге ломает все следующие ответы цепочки.
Окончания в умножении на 8 и проверка чётности
Последние цифры ответов умножения на 8 идут по кругу: 8, 6, 4, 2, 0, затем снова 8, 6, 4, 2, 0. Каждое окончание на 2 меньше предыдущего, а после нуля круг начинается заново.
В первой пятёрке это 8, 16, 24, 32, 40. Во второй — 48, 56, 64, 72, 80. Окончания совпадают: 8 и 48, 16 и 56, 24 и 64, 32 и 72, 40 и 80. Во второй половине каждый ответ ровно на 40 больше, чем в первой. Ребёнок, который знает 8 × 2 = 16, получает 8 × 7 = 16 + 40 = 56.
Такая закономерность — хороший фильтр. Ответ 54 на пример 8 × 7 отпадает: окончание 4 бывает только у 24 и 64. Ответ 63 на 8 × 9 отпадает тем более: нечётных чисел в столбце не существует. Проверка последней цифры не заменяет знание ответа, но отсекает грубые промахи.
«Восьмёрка — отдельный столбец, его нужно учить с нуля». Это миф: каждый ответ на 8 — удвоенный ответ на 4, а большинство фактов уже знакомо по переместительности.
Восьмёрка как удвоенная четвёрка
Каждый ответ умножения на 8 вдвое больше ответа на 4: 4 × 7 = 28, значит, 8 × 7 = 56. Если четвёрка выучена, восьмёрка получается одним удвоением.
Здесь видна цепочка столбцов: 2 → 4 → 8. Столбец на 4 — удвоенная двойка, столбец на 8 — удвоенная четвёрка. Поэтому учить их удобно друг за другом, а не вразнобой; приказ о программе этот порядок не запрещает и не предписывает. Если ребёнок путается в четвёрке, восьмёрку лучше отложить: ошибка переедет в удвоенный ответ. Разбор четвёрки — на странице таблица умножения на 4 через удвоение.
Трудные примеры умножения на 8: 56, 64, 72
Труднее всего три факта: 8 × 7 = 56, 8 × 8 = 64 и 8 × 9 = 72. У каждого есть своя опора, и учить их стоит именно через неё.
- 8 × 7 = 56. Цифры 5, 6, 7, 8 идут по порядку. Проверка: 70 − 14 = 56.
- 8 × 8 = 64. Квадрат восьми. Столько клеток на шахматной доске 8 на 8. Проверка: 32 + 32 = 64.
- 8 × 9 = 72. Сумма цифр 7 + 2 = 9, как у всех ответов на 9. Не путать с 27 — это 3 × 9.
Полезна и прикидка: 8 × 9 чуть меньше, чем 10 × 9 = 90, а значит, ответ 72 правдоподобен, а 63 или 81 — нет. Психолог Dehaene описывал мысленную числовую линию, на которой человек приблизительно оценивает величины[1]. Прикидка «больше-меньше» опирается на это чувство числа и помогает поймать ошибку до проверки.
Четыре занятия на восьмёрку
Чтобы закрепить столбец на 8, хватит 4 занятий по 10–15 минут через день. Перерыв между ними полезен: по кривой забывания Эббингауза повторения замедляют потерю заученного[2].
| Занятие | Что делаем | Как проверяем |
| 1 | Три удвоения для всех множителей, шаги проговариваем вслух | Ребёнок сам заполняет столбец |
| 2 | Способ 10 × n − 2 × n для 6, 7, 8, 9 | Сверка с прошлым занятием |
| 3 | Трудные 56, 64, 72 и деление пополам трижды | Режим «20 примеров» в тренажёре |
| 4 | Смешанная серия на 4 и 8 | Режим «60 секунд», разбор ошибок |
Тренажёр показывает итог серии: сколько верно, точность, секунды на пример и список ошибок с советом. Отвечать на вопрос по памяти полезнее, чем перечитывать готовую таблицу, — это вывод исследования Roediger и Karpicke[3]. Исследование показало это на заучивании текстов, но правило подходит и для таблицы. Поэтому таблицу с ответами лучше убрать, как только началась самопроверка.
Когда удвоение мешает
Удвоение мешает, если ребёнку трудно держать промежуточное число в голове или он ошибается на переходе через десяток. Вот четыре признака, что способ пора сменить.
- На одно удвоение уходит больше 4 секунд. Три таких шага дольше, чем вспомнить ответ, — переходите на 10 × n − 2 × n.
- Ошибка появляется на 2-м или 3-м шаге. Значит, слабое место — удвоение двузначных чисел, его тренируют отдельно.
- В столбце на 4 больше 2 неверных ответов из 10. Опираться на четвёрку пока нельзя.
- Ребёнку 7 лет и он только знакомится с умножением. Многошаговые приёмы лучше отложить до уверенного знания столбцов на 2 и 4.
Что нельзя делать при изучении восьмёрки
Нельзя считать восьмёрку «последним рывком» и гнать её за один день. Вот что вредит сильнее всего.
- Нельзя учить восьмёрку раньше четвёрки. Связь 4 → 8 тогда теряется.
- Не стоит давать все три способа в одно занятие. Ребёнок начинает их смешивать и сбивается.
- Не следует оставлять таблицу с ответами на столе во время самопроверки.
- Нельзя засчитывать ответ без проверки способом, пока точность ниже 9 из 10.
- Не стоит заниматься час в выходной вместо 4 коротких занятий: распределённые повторения держатся дольше.
Источники
[1] Dehaene S. The Number Sense: How the Mind Creates Mathematics. New York: Oxford University Press, 1997.
[2] Ebbinghaus H. Über das Gedächtnis. Leipzig: Duncker & Humblot, 1885.
[3] Roediger H. L., Karpicke J. D. Test-enhanced learning: Taking memory tests improves long-term retention // Psychological Science. 2006. Vol. 17, № 3. P. 249–255.
[4] Приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 372 «Об утверждении федеральной образовательной программы начального общего образования».
Вопросы и ответы
Какой способ выбрать ребёнку: удвоение или вычитание?
Для множителей до 5 удобнее удвоение: шаги короткие. Для 6–9 быстрее вычитание из круглого числа. Многие дети в итоге совмещают: маленькие примеры удваивают, большие считают от десятков.
Почему 8 × 7 и 7 × 8 — это один факт?
От перестановки множителей произведение не меняется. Семь рядов по восемь клеток и восемь рядов по семь клеток — один и тот же прямоугольник, повёрнутый на бок. Клеток в нём 56.
Как запомнить, что 8 × 9 = 72, а не 27?
Подумайте, какое число ближе к 80: 72 или 27. Восемь девяток почти восемь десятков, значит, ответ около 80. Число 27 — это три девятки, оно слишком маленькое.
В каком классе нужно знать восьмёрку?
ФОП начального общего образования относит табличное умножение и деление ко 2 классу[4]. В 3 классе эти факты используются во внетабличном умножении, например 18 × 4 или 96 : 8, поэтому к началу третьего года их стоит знать уверенно.
Ребёнок ошибается только в делении на 8. Почему?
Чаще всего он помнит ответы умножения как цепочку, а обратный путь не тренировал. Решайте смешанные серии и проговаривайте обе записи: 64 : 8 = 8, потому что 8 × 8 = 64. Каждая такая серия — это самопроверка по памяти, а она по исследованию Roediger и Karpicke закрепляет сильнее перечитывания.
Помогут ли игры выучить эти примеры?
Игры с картами или кубиками полезны как повторение вразбивку и снимают напряжение. Они дополняют тренажёр, но не заменяют разбор способа. Правила подходящих игр есть в подборке игры для таблицы умножения.