Как умножать на 4, 8 и 15 в уме: удвоение, половина и проверка

Почему удвоение заменяет умножение на 4 и 8

Удвоение работает потому, что 4 = 2 × 2, а 8 = 2 × 2 × 2: умножить на 4 — значит дважды умножить на 2. Удваивать в уме легче, чем умножать на 4 сразу, потому что удвоение каждой цифры — это табличный факт.

Здесь работает сочетательное свойство: 37 × 4 = 37 × (2 × 2) = (37 × 2) × 2. Каждое промежуточное число проще исходной задачи. Удвоить 37 может почти любой третьеклассник — это 60 + 14 = 74, — а удвоить 74 — это 140 + 8 = 148. Две лёгкие операции заменяют одну тяжёлую, и ошибаться негде.

Удвоение в уме удобно вести слева направо, по разрядам: 368 × 2 = 600 + 120 + 16 = 736. Так число собирается от старшего разряда к младшему, и первая цифра ответа известна сразу. Если удвоение пока вызывает трудности, не стоит сразу переходить к цепочкам — лучше потренировать его отдельно на числах до 500 и только после этого браться за 4 и 8. По ФОП НОО умножение на однозначное число входит в программу 3 класса^[1], и удвоение — его самый простой случай.

Умножение на 4: два удвоения

Чтобы умножить число на 4, его удваивают и результат удваивают ещё раз: 175 × 4 → 350 → 700. Промежуточное число стоит проговорить вслух, чтобы не потерять его.

1. Первое удвоение. 96 × 2 = 180 + 12 = 192.
2. Второе удвоение. 192 × 2 = 200 + 180 + 4 = 384.
3. Прикидка. 96 близко к 100, а 100 × 4 = 400; ответ 384 чуть меньше — сходится.

Для чисел рядом с круглым есть второй путь: 39 × 4 = 40 × 4 − 4 = 156. Он полезен, когда удвоение даёт неудобный перенос, но не нужен, если число и так удваивается легко. Умножение на 40 — то же умножение на 4 с нулём: 26 × 40 = 104 × 10 = 1 040. А умножение на 0,4 в 6 классе окажется тем же удвоением с последующим делением на 10.

Умножение на 8: три удвоения или «× 10 − × 2»

На 8 умножают тремя удвоениями подряд: 57 × 8 → 114 → 228 → 456. Если третье удвоение кажется длинным, можно взять 8 = 10 − 2: 57 × 8 = 570 − 114 = 456.

Какой путь выбрать — дело вкуса и числа. Три удвоения надёжнее для небольших чисел, где каждое промежуточное число легко держать в голове: 23 → 46 → 92 → 184. Вычитание из десятикратного удобнее, когда удвоения дают трёхзначные числа с переносами: 74 × 8 = 740 − 148 = 592. Оба пути дают одинаковый ответ, и это удобная проверка: посчитали одним способом, сверили другим.

Продолжение цепочки даёт умножение на 16: четыре удвоения. 24 × 16 → 48 → 96 → 192 → 384. Заодно ребёнок видит ряд степеней двойки — 2, 4, 8, 16, 32, 64, — который по ФОП ООО понадобится в 5–6 классе в теме о степенях. Полезный ориентир: 125 × 8 = 1 000, поэтому 8 и 125 в одном примере стоит сразу перемножить.

«Умножение на 8 в уме доступно только тем, кто хорошо считает». Это миф: три удвоения требуют только умения удваивать, а оно осваивается раньше всей таблицы умножения. Трудность не в восьмёрке, а в удержании промежуточного числа.

Деление на 4 и 8 пополам

Деление на 4 — это два деления пополам, на 8 — три: 312 : 4 → 156 → 78; 448 : 8 → 224 → 112 → 56. Делить пополам по разрядам легче, чем подбирать частное на 4 или 8.

Половину удобно искать по частям: половина от 312 — это половина от 300 и половина от 12, то есть 150 + 6 = 156. Если по пути встречается нечётное число, ответ будет дробным или с остатком: 90 : 4 → 45 → 22,5. Для третьеклассника, который дробей ещё не знает, такие примеры не подходят, а пятикласснику они полезны: по ФОП ООО десятичные дроби изучают в 5–6 классе. Пример 1 000 : 8 → 500 → 250 → 125 стоит запомнить: он снова показывает связь 8 и 125.

Умножение на 15: десяток и его половина

Умножение на 15 — это сумма умножения на 10 и половины от него: 46 × 15 = 460 + 230 = 690. Причина в том, что 15 = 10 + 5, а 5 — половина от 10.

С нечётным числом половина получается с пятёркой: 37 × 15 = 370 + 185 = 555. Есть и другой путь для чётных чисел: умножить половину числа на 30. 84 × 15 = 42 × 30 = 1 260. Этот приём пригождается при счёте минут: 15 минут — четверть часа, и 18 раз по 15 минут — это 180 + 90 = 270 минут, то есть 4,5 часа. В тренажёре на этой странице отдельной карточки для 15 нет, поэтому потренируйте его устно на 5–6 своих примерах.

Тренажёр: умножение на 4 и на 8

Под статьёй две карточки: «Умножение на 4» с числами от 12 до 99 и «Умножение на 8» с числами от 12 до 60. В каждой — пример, поле ответа и кнопка «Проверить».

Кнопка «Как решать» показывает цепочку удвоений: например, «57 × 2 = 114, 114 × 2 = 228, 228 × 2 = 456». «Другой пример» даёт новое задание. Начинайте с карточки на 4, пока не будет 10 верных ответов подряд, потом переходите к 8 и чередуйте их. Короткие подходы по 5 минут через день дают более прочный результат, чем одно длинное занятие, — к такому выводу пришёл обзор исследований распределённой практики^[2].

Если удвоение уже получается, следующий шаг — обратный ему приём через деление: умножение на 5 и 25 через круглые числа. А общий перечень приёмов со сравнением есть на странице приёмы быстрого счёта в уме.

Частые ошибки

Ошибки здесь делятся на 3 вида: лишнее или недостающее удвоение, потерянный перенос при удвоении и путаница между умножением и делением.

Самая частая — удвоить дважды при умножении на 8: 57 × 8 = 228. Помогает счёт на пальцах — загибать палец на каждом удвоении: на 4 — два пальца, на 8 — три. Вторая ошибка — перенос: 74 × 2 = 1 418, когда ребёнок удвоил 7 и 4 отдельно и склеил 14 и 8. Прикидка ловит её сразу: 74 × 2 меньше 200. Третья — деление вместо умножения на втором шаге: 37 → 74 → 37. Её видно по тому, что ответ равен исходному числу.

«Удвоение — детский способ, взрослым он не нужен». Это мнение не подтверждается ничем, кроме привычки: удвоение опирается на то же сочетательное свойство, что и любой приём, и одинаково работает в любом возрасте. Способ не детский, а просто короткий.

Когда удвоение не подходит

Не всегда цепочка удвоений выгоднее: в 4 случаях лучше считать иначе.

• Табличные случаи до 10 × 8. 7 × 8 = 56 надо помнить, а не получать через 14 и 28.
• Ребёнок удваивает числа до 100 дольше 5 секунд. Сначала отработайте удвоение отдельно, иначе цепочка развалится.
• Множимое больше 500 при умножении на 8. Три удвоения с четырёхзначными числами в уме ненадёжны; удобнее «× 10 − × 2» или запись.
• Деление на 4 числа, которое на 4 не делится, во 2–4 классе. Дробный ответ пока непонятен; дайте пример, кратный 4.

Чего делать нельзя

Нельзя торопить переход к восьмёрке, пока четвёрка не стала автоматической. Шесть правил для домашних занятий.

• Нельзя пропускать проговаривание промежуточных чисел в первые дни — по Гальперину громкая речь предшествует счёту про себя^[3].
• Не стоит давать удвоение четырёхзначных чисел до того, как уверенно идут двузначные и трёхзначные.
• Не следует вводить «× 10 − × 2» одновременно с тремя удвоениями: сначала один способ, через неделю второй.
• Нельзя оставлять ответ без прикидки: 57 × 8 должно быть около 60 × 8 = 480.
• Не стоит включать таймер, пока в итогах есть ошибки с переносом.
• Не допускается заменять приёмом табличные факты. 6 × 8 по-прежнему нужно знать наизусть.

Источники

[1] Приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 372 «Об утверждении федеральной образовательной программы начального общего образования».

[2] Cepeda N. J., Pashler H., Vul E., Wixted J. T., Rohrer D. Distributed practice in verbal recall tasks: A review and quantitative synthesis // Psychological Bulletin. 2006. Vol. 132, № 3. P. 354–380.

[3] Гальперин П. Я. Развитие исследований по формированию умственных действий // Психологическая наука в СССР. Т. 1. М., 1959.

Вопросы и ответы

Сколько раз удваивать для 16 и 32?

Для 16 — четыре раза, для 32 — пять. Например, 3 × 32: 6, 12, 24, 48, 96. Но с ростом числа шагов растёт и риск сбиться, поэтому дальше 16 удобнее разложение: 45 × 32 = 45 × 30 + 45 × 2 = 1 350 + 90 = 1 440.

Что делать, если при делении пополам вышло нечётное число?

Продолжать, но помнить, что дальше будет дробь: 90 → 45 → 22,5. Если дроби ещё не пройдены, остановитесь на остатке: 90 : 4 = 22 (ост. 2). Проверка: 22 × 4 + 2 = 90.

Чем отличается этот приём от таблицы на 4?

Таблица — это 10 фактов от 4 × 1 до 4 × 10, их помнят наизусть; они разобраны в материале таблица умножения на 4. Удвоение нужно для чисел, которых в таблице нет: 37, 175, 312. Приём опирается на таблицу и расширяет её на любые числа.

Как удвоить трёхзначное число без ошибок?

По разрядам слева направо: 368 → 600, 120, 16 → 736. Каждый разряд удваивается отдельно, потом части складываются. Записывать промежуточные части на бумаге в первые дни нормально.

Можно ли так умножать на 12?

Можно сочетать: 12 = 4 × 3, поэтому 25 × 12 = 25 × 4 × 3 = 100 × 3 = 300. Или 12 = 10 + 2: 37 × 12 = 370 + 74 = 444. Выбирайте путь, где числа круглее.

В каком классе это изучают?

Отдельной темой — нигде, но по ФОП НОО умножение и деление на однозначное число входит в программу 3 класса. Двойное удвоение доступно с конца 3 класса, тройное и деление на 8 — с 4 класса.