Как умножить на 11 устно любое число: правило, перенос, проверка

Правило для двузначных чисел без переноса

Чтобы умножить двузначное число на 11, нужно раздвинуть его цифры и вписать между ними их сумму: 27 × 11 → 2, (2 + 7), 7 → 297.

1. Запишите первую цифру. Для 45 × 11 это 4.
2. Сложите цифры числа. 4 + 5 = 9 — это будет средняя цифра.
3. Допишите последнюю цифру. 5 становится на место единиц: 495.

Так считаются все двузначные множимые, у которых сумма цифр не больше 9: 18 × 11 = 198, 34 × 11 = 374, 63 × 11 = 693, 90 × 11 = 990. Таких чисел 45 из 90 двузначных, то есть ровно половина, и для другой половины без переноса не обойтись. Для числа 11 × 11 правило даёт 121 — первую строчку знаменитого «треугольника» из единиц, где 111 × 111 = 12 321.

В тренажёре на этой странице карточки с умножением на 11 дают двузначные множимые от 10 до 99. Сначала решайте их без спешки и проговаривайте три шага вслух: «первая — сумма — последняя». По теории поэтапного формирования умственных действий Гальперина громкая речь — обязательная ступень между записью и счётом про себя^[1].

Умножение на 11 с переносом

Если сумма цифр двузначная, в середину пишут только её последнюю цифру, а единицу прибавляют к первой цифре: 85 × 11 → 8 + 5 = 13, в середине 3, впереди 8 + 1 = 9, ответ 935.

Перенос — главный источник ошибок, и не стоит переходить к нему, пока простые случаи не идут без запинки. Ребёнок видит сумму 13 и записывает её целиком: 85 × 11 = 8 135. Такой ответ легко поймать прикидкой: 85 × 11 должно быть чуть больше 85 × 10 = 850, а 8 135 больше почти в десять раз. Ещё несколько примеров с переносом: 58 × 11 = 638 (5 + 8 = 13), 73 × 11 = 803 (7 + 3 = 10), 96 × 11 = 1 056 (9 + 6 = 15, и 9 + 1 = 10 даёт уже четырёхзначный ответ).

Обратите внимание на 64 × 11 и 19 × 11: сумма цифр ровно 10, в середине оказывается ноль. Именно здесь дети чаще всего пишут «6104» или «2109», забыв, что ноль — тоже цифра, которую надо поставить.

Почему умножение на 11 работает: доказательство

Правило следует из того, что 11 = 10 + 1: умножить на 11 — значит сложить число, умноженное на 10, с самим числом. 52 × 11 = 520 + 52 = 572.

Запишем это сложение столбиком. У числа 520 цифры 5, 2, 0, у числа 52 — 5 и 2, сдвинутые на разряд вправо. В разряде единиц складываются 0 и 2 — остаётся 2. В разряде десятков — 2 и 5, это и есть сумма цифр. В разряде сотен стоит только 5. Отсюда три шага правила, а перенос — обычный перенос при сложении столбиком, когда в разряде десятков набирается 10 или больше.

В буквенном виде: двузначное число с цифрами a и b равно 10a + b, и (10a + b) × 11 = 100a + 10 × (a + b) + b. Сотни — a, десятки — сумма a + b, единицы — b. Такая запись понятна семикласснику, который по ФОП ООО уже работает с буквенными выражениями, а младшему школьнику хватит сложения столбиком на трёх-четырёх примерах: важно, чтобы он увидел, откуда берётся сумма, а не просто запомнил «раздвинь и сложи».

«Умножение на 11 — особый трюк, который работает только для двузначных чисел». Это миф: правило выводится из распределительного свойства и работает для чисел любой длины. Меняется только количество сумм в середине.

Трёхзначные и многозначные числа

Для трёхзначного числа крайние цифры тоже остаются на местах, а между ними пишут две суммы соседних цифр: 241 × 11 → 2, (2 + 4), (4 + 1), 1 → 2 651.

С переносом считают справа налево, как в столбике. Возьмём 476 × 11. Последняя цифра 6. Следующая сумма 7 + 6 = 13: пишем 3, единица в уме. Дальше 4 + 7 = 11, плюс перенос — 12: пишем 2, единица в уме. Первая цифра 4 плюс перенос — 5. Ответ 5 236. Ещё один пример с двумя переносами: 989 × 11 → 9; 8 + 9 = 17 → 7, единица в уме; 9 + 8 + 1 = 18 → 8, единица в уме; 9 + 1 = 10 → ответ 10 879.

Для четырёхзначного числа в середине три суммы: 2 314 × 11 → 2, (2 + 3), (3 + 1), (1 + 4), 4 → 25 454. Дальше удерживать в голове столько сумм и переносов трудно, и разумнее записать их на бумаге. Похожим образом считают умножение на 22 и 33: сначала на 11, потом на 2 или 3. 34 × 22 = 374 × 2 = 748.

Как проверить ответ: признак делимости на 11

Любое произведение на 11 делится на 11, поэтому проверка простая: знакопеременная сумма цифр ответа — первая минус вторая плюс третья и так далее — должна делиться на 11 или равняться нулю.

Проверим 5 236: справа налево 6 − 3 + 2 − 5 = 0 — делится, ответ правдоподобен. Проверим неверный ответ 8 135 вместо 935: 5 − 3 + 1 − 8 = −5 — на 11 не делится, значит, ошибка. Неверный ответ 956 вместо 1 056 (забыт перенос в 96 × 11): 6 − 5 + 9 = 10 — тоже не делится. Признак делимости на 11 по ФОП основного общего образования изучают в теме о делимости в 5–6 классе^[2], но пользоваться им может и младший школьник, если показать на примерах.

У этой проверки есть граница. Она не заметит ошибку, которая сама кратна 11, например ответ 946 вместо 935: 6 − 4 + 9 = 11, признак выполнен. Поэтому её дополняют прикидкой: результат умножения на 11 всегда чуть больше, чем число × 10. Обе проверки вместе занимают несколько секунд. Подробно о проверке ответа по 9 и по 11 рассказано в статье про проверку ответа цифровым корнем.

Тренажёр: умножение на 11 по шагам

Тренажёр под статьёй показывает пример с двузначным числом, у которого есть поле ответа и кнопка «Проверить». Кнопка «Другой пример» даёт новое задание, а «Как решать» — разбор по шагам.

В разборе видно, куда ставится сумма цифр и когда единица уходит в старший разряд. Решайте сначала без таймера: цель первой недели — 10 верных ответов подряд, включая случаи с переносом. Сразу после верного ответа полезно назвать вслух, был ли перенос, — так внимание привыкает к самому трудному месту. В исследовании Roediger и Karpicke попытка вспомнить закрепляла материал лучше перечитывания, и карточки построены именно на этом. Короткие подходы по 5 минут в разные дни дают больше, чем один длинный: к такому выводу пришёл обзор исследований распределённой практики^[3].

Если на этой странице всё получается, следующий шаг — родственные приёмы: умножение на 9 и 99 через круглое число и общий набор правил на странице приёмы быстрого счёта.

Когда приём не поможет

Не всегда правило с суммой цифр выгоднее обычного счёта: в 4 случаях лучше считать иначе или отложить его.

• Ребёнок не складывает однозначные числа быстрее 3 секунд. Суммы цифр будут тормозить, сначала нужен состав числа.
• Множимое длиннее 4 цифр. Три и больше переносов подряд в уме держать трудно — пишите столбиком.
• Множитель не 11, а 12 или 13. Здесь проще 10 + 2 или 10 + 3: 45 × 12 = 450 + 90 = 540.
• Ученик 2 класса. До изучения разрядов в 3–4 классе правило выглядит фокусом, и его смысл ускользает.

«Если знать такие приёмы, можно не учить умножение столбиком». Это не подтверждается программой: по ФОП НОО письменное умножение многозначных чисел — обязательная тема 4 класса, а приём подходит лишь к одному множителю.

Чего делать нельзя

Нельзя давать правило без объяснения, иначе на трёхзначном числе ребёнок растеряется. Шесть ошибок взрослых при обучении.

• Нельзя пропускать доказательство через 520 + 52. Один столбик экономит недели путаницы.
• Не стоит начинать с примеров с переносом. Первые 2–3 дня — только суммы до 9.
• Не следует путать направление переноса: единица всегда уходит влево, в старший разряд.
• Нельзя сдавать ответ без прикидки: результат должен быть чуть больше числа, умноженного на 10.
• Не стоит учить одновременно приём для 9 и для 11 — правила смешиваются.
• Не допускается заменять приёмом запись решения на уроке, если учитель просит показать вычисления.

Источники

[1] Гальперин П. Я. Развитие исследований по формированию умственных действий // Психологическая наука в СССР. Т. 1. М., 1959.

[2] Приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 370 «Об утверждении федеральной образовательной программы основного общего образования».

[3] Cepeda N. J., Pashler H., Vul E., Wixted J. T., Rohrer D. Distributed practice in verbal recall tasks: A review and quantitative synthesis // Psychological Bulletin. 2006. Vol. 132, № 3. P. 354–380.

Вопросы и ответы

Что делать, если в середине получилось 10?

Писать в середину 0, а единицу добавлять к первой цифре. Так 37 × 11 даёт 3 + 7 = 10, в середине 0, впереди 3 + 1 = 4, ответ 407. Проверка: 370 + 37 = 407.

Как умножить на 110 или 1,1?

Сначала умножить на 11 по правилу, затем сдвинуть запятую. 42 × 11 = 462, значит 42 × 110 = 4 620, а 42 × 1,1 = 46,2. Свойства действий для десятичных дробей те же, поэтому приём переносится без изменений.

Работает ли правило для 111?

Похожее правило есть: каждая цифра ответа — сумма трёх соседних цифр множимого. 23 × 111 = 2, (2 + 3), (2 + 3), 3 = 2 553. Но удерживать тройные суммы с переносами в уме уже трудно, поэтому полезнее разложить: 2 300 + 230 + 23.

С какого класса можно учить этот способ?

С 3–4 класса, когда ребёнок уверенно понимает разряды и умножение на 10 — по ФОП НОО это как раз программа 3–4 класса. Раньше правило работает, но остаётся фокусом без смысла и быстро забывается или путается с другими.

Почему ответ 6104 для 64 × 11 неверный?

Потому что сумма 6 + 4 = 10 записана целиком, без переноса. Правильно: в середину 0, а единица идёт к шестёрке — получается 704. Прикидка подтверждает: 64 × 11 должно быть около 700, а не 6 000.

Нужен ли этот приём на экзамене?

Отдельно его не проверяет ни ФГОС, ни экзамен, но на ОГЭ калькулятором пользоваться нельзя, и любая экономия на вычислениях оставляет время на решение. Умножение на 11 встречается, например, при работе с площадями и процентами.