Как умножать и делить на 5, 25, 50 и 125: десятки вместо пятёрок

Почему 5, 25 и 125 удобны для счёта в уме

Числа 5, 25 и 125 — это части круглых: 5 = 10 : 2, 25 = 100 : 4, 125 = 1 000 : 8. Умножать на круглое и делить на 2, 4 или 8 почти всегда легче, чем умножать на 5, 25 или 125 напрямую.

Математически это сочетательное свойство умножения: порядок действий можно менять, а результат не изменится. 86 × 5 = 86 × (10 : 2) = (86 × 10) : 2 = 860 : 2. Или в другом порядке: (86 : 2) × 10 = 43 × 10 = 430. Какой порядок выбрать, зависит от числа: чётное удобнее сначала делить, нечётное — сначала умножать на 10.

Свойства действий, на которых держится приём, изучают в начальной школе, а умножение и деление на однозначное число — в 3 классе по ФОП НОО^[1]. Поэтому умножение на 5 доступно третьекласснику, на 25 — четверокласснику, а на 125 и деление на 25 удобнее давать в 5 классе, когда появятся десятичные дроби.

Умножение на 5 и 50: чётные и нечётные числа

Чётное число при умножении на 5 сначала делят пополам и приписывают ноль: 86 × 5 → 43 → 430. Нечётное умножают на 10 и делят пополам: 43 × 5 = 430 : 2 = 215.

У нечётного числа половина «с половинкой», поэтому ответ всегда оканчивается на 5. Это хорошая самопроверка: 43 × 5 не может оканчиваться на 0. Для чётного множимого, наоборот, на конце обязательно 0. Умножение на 50 отличается только лишним нулём: 58 × 50 = 29 × 100 = 2 900, а 17 × 50 = 1 700 : 2 = 850.

С десятичными дробями приём сохраняется полностью: 0,8 × 5 = 8 : 2 = 4, а 3,6 × 5 = 36 : 2 = 18. Это пригодится в 5–6 классе, когда по ФОП ООО появятся десятичные дроби и умножение на 0,5 окажется просто делением пополам. Тот же приём лежит в основе процентов: 25% — это четверть, подробнее в материале проценты в уме без калькулятора.

Умножение на 25: делим на 4

Чтобы умножить на 25, число делят на 4 и приписывают два нуля: 72 × 25 → 72 : 4 = 18 → 1 800. Деление на 4 удобно делать как два деления пополам: 72 → 36 → 18.

Если число на 4 не делится, приём не ломается, есть три пути. Первый — дробь: 34 : 4 = 8,5, значит 34 × 25 = 850. Второй — сначала умножить на 100: 3 400 : 4 = 850. Третий — отделить кратную часть: 34 = 32 + 2, 32 × 25 = 800, 2 × 25 = 50, всего 850. Для чисел рядом с круглыми удобно вычитание: 19 × 25 = 20 × 25 − 25 = 500 − 25 = 475.

Полезно помнить, что 4 × 25 = 100. Это ключ к целым цепочкам: 4 × 7 × 25 × 13 = 100 × 91 = 9 100 — достаточно заметить пару 4 и 25. Такие примеры встречаются в 5 классе как упражнение на свойства умножения — по ФОП ООО натуральные числа и их свойства изучают именно тогда.

Умножение на 125 и деление на 125

Умножение на 125 — это деление на 8 и умножение на 1 000: 48 × 125 = 6 × 1 000 = 6 000. Деление на 8 делают как три деления пополам: 48 → 24 → 12 → 6.

Для чисел, не кратных 8, удобнее сначала приписать три нуля: 36 × 125 = 36 000 : 8 = 4 500, а 9 × 125 = 9 000 : 8 = 1 125. Здесь стоит знать наизусть, что 8 × 125 = 1 000, — это то же, что 4 × 25 = 100, только разрядом выше. Деление на 125 обратно: 2 000 : 125 = 2 000 × 8 : 1 000 = 16. Взрослым такой приём помогает с объёмами и массами: 125 г, 250 г и 750 г встречаются в рецептах постоянно.

«Приём для 25 работает только для чисел, которые делятся на 4». Это миф: при делении на 4 может получиться дробь, и ответ всё равно верный — 34 × 25 = 8,5 × 100 = 850. Неудобство есть, ошибки нет.

«Если знать приём для 5, таблицу на 5 можно не учить». Это не подтверждается практикой: приём сам опирается на табличное деление пополам, а 7 × 5 через 70 : 2 считается дольше, чем вспоминается. Табличные факты нужны раньше приёма.

Деление на 5 и 25 через удвоение

Деление на 5 — это умножение на 2 и деление на 10: 315 : 5 = 630 : 10 = 63. Деление на 25 — умножение на 4 и деление на 100: 450 : 25 = 1 800 : 100 = 18.

Почему так? Разделить на 5 — значит разделить на 10 : 2, а деление на частное равно делению на 10 и умножению на 2. Если делимое не делится нацело, приём даёт десятичную дробь, и это тоже верный ответ, но только после того, как десятичные дроби пройдены: 47 : 5 = 94 : 10 = 9,4. Для деления на 50 не нужно отдельное правило: удваивают и делят на 100: 750 : 50 = 1 500 : 100 = 15.

Тренажёр: умножение на 5, 25 и деление на 5

Под статьёй три карточки: «Умножение на 5», «Умножение на 25» и «Деление на 5». В каждой — пример, поле ответа и кнопки «Проверить», «Другой пример» и «Как решать».

В карточке на 5 иногда попадаются нечётные числа — следите, чтобы ответ оканчивался на 5. В карточке на 25 множимые всегда кратны 4, поэтому она подходит для первого знакомства. Кнопка «Как решать» показывает цепочку из двух шагов, например «72 : 4 = 18, 18 × 100 = 1 800». Порядок занятий — сначала одна карточка до 10 верных ответов подряд, и только после этого перемешивание. Исследование Rohrer и Taylor показало, что задачи разных видов вперемешку дают лучший итоговый результат, чем серии одного вида^[2].

Родственные приёмы, построенные на удвоении и делении пополам, разобраны в статье умножение на 4 и 8 удвоением. А если нужно делить на 5 и 25 более сложные числа, пригодится общий материал деление в уме по частям.

Частые ошибки

Ошибки здесь почти всегда связаны с нулями и порядком действий: лишний или потерянный ноль, деление не на то число, путаница между 25 и 50.

• Лишний ноль. 86 × 5 = 4 300: ребёнок и разделил пополам, и приписал ноль, и умножил на 10. Помогает прикидка: 86 × 5 меньше, чем 100 × 5 = 500. Проговаривание вслух тоже помогает — по Гальперину громкая речь служит мостом от записи к счёту про себя.
• Деление на 2 вместо 4. 72 × 25 = 3 600 — это ответ для 50. Проговаривайте: «двадцать пять — четверть сотни».
• Потерянная половинка. 43 × 5 = 210 вместо 215. Нечётное число даёт ответ на 5.
• Обратное направление при делении. 345 : 5 = 34,5 : 2 — ребёнок применил правило для умножения. Деление на 5 — это удвоение, а не деление пополам.

Когда приём не нужен

Не каждый пример с пятёркой стоит решать приёмом: в 4 случаях прямой счёт быстрее или база ещё не готова.

• Табличные случаи до 10 × 5. 7 × 5 = 35 надо помнить, а не вычислять через 70 : 2.
• Ребёнок не делит пополам числа до 1 000. Сначала нужно уверенное деление на 2, иначе шаг «: 2» станет главной ошибкой.
• Множимое вроде 12 или 14 при умножении на 5. 12 × 5 = 60 проще сосчитать как 10 × 5 + 2 × 5.
• Ученику меньше 8 лет. Цепочка из двух действий перегружает внимание; полезнее сначала табличное умножение 2 класса.

Чего делать нельзя

Нельзя давать четыре правила сразу: «× 10 : 2», «: 4 × 100», «× 2 : 10» и «× 4 : 100» перепутаются за один вечер. Шесть ограничений для занятий.

• Нельзя вводить больше одного приёма в неделю. Начните с 5, через неделю — деление на 5, потом 25.
• Не стоит пропускать объяснение, почему 5 = 10 : 2. Без него правило путается с обратным.
• Не следует давать на 25 некратные 4 числа до 5 класса, пока нет десятичных дробей.
• Нельзя оставлять ответ без проверки последней цифры: у произведения на 5 она только 0 или 5.
• Не стоит гнаться за скоростью: тревога от таймера отнимает ресурсы рабочей памяти, которые нужны для двухшаговой цепочки^[3].
• Не допускается заменять приёмом запись решения в тетради, если учитель просит показать действия.

Источники

[1] Приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 372 «Об утверждении федеральной образовательной программы начального общего образования».

[2] Rohrer D., Taylor K. The shuffling of mathematics problems improves learning // Instructional Science. 2007. Vol. 35, № 6. P. 481–498.

[3] Ashcraft M. H. Math anxiety: Personal, educational, and cognitive consequences // Current Directions in Psychological Science. 2002. Vol. 11, № 5. P. 181–185.

Вопросы и ответы

Что сначала: делить пополам или приписывать ноль?

Для чётного числа удобнее сначала делить: 86 → 43 → 430. Для нечётного — сначала приписать ноль, чтобы не получить дробь: 43 → 430 → 215. Результат в обоих порядках одинаковый, разница только в удобстве.

Как умножить на 25 число вроде 44?

Разделите 44 на 4 — получится 11, припишите два нуля: 1 100. Если сразу трудно, делите пополам дважды: 44 → 22 → 11. Ответ всегда можно проверить обратно: 1 100 : 25 = 1 100 × 4 : 100 = 44.

Зачем учить 125, если это редкое число?

Оно не такое редкое: 125 г и дробь 0,125, то есть одна восьмая, встречаются в задачах на дроби и проценты. Кроме того, приём для 125 закрепляет общую идею — заменить неудобное число частью круглого.

Почему при делении на 5 надо умножать на 2?

Потому что в 10 пятёрка помещается 2 раза. Сколько пятёрок в 345? Вдвое больше, чем десяток в 345, то есть 34,5 × 2 = 69. Удобнее сначала удвоить, потом разделить на 10.

Как проверить ответ после умножения на 5?

Последней цифрой и прикидкой. Произведение на 5 оканчивается на 0 или 5, на 25 — на 00, 25, 50 или 75. По величине 72 × 25 должно быть около 70 × 25 = 1 750, и ответ 1 800 этому соответствует.

С какого возраста учить?

Приём для 5 — с 3 класса, когда ребёнок уверенно делит на 2 и умножает на 10. Для 25 — с 4 класса, для 125 и деления на 25 — не раньше 5 класса, вместе с десятичными дробями. Нормативов скорости ни ФГОС, ни ФОП не задают, поэтому темп выбирайте по ребёнку.