Как устно умножать на 9, 99 и 999 двузначные и трёхзначные числа

Не путать: здесь речь о двузначных и трёхзначных числах. Произведения от 9 × 1 до 9 × 10 и способ на пальцах разобраны в материале таблица умножения на 9.

Приём «× 10 − n»: умножение на 9 двузначного числа

Чтобы умножить число на 9, его умножают на 10 и вычитают само число: 86 × 9 = 860 − 86 = 774. Так работает любое множимое, хоть двузначное, хоть пятизначное.

1. Припишите ноль. 86 → 860: это 86 × 10.
2. Отнимите исходное число. 860 − 86. Удобно по частям: 860 − 80 = 780, 780 − 6 = 774.
3. Сделайте прикидку. Ответ должен быть чуть меньше 860 — на одно исходное число.

Шаг вычитания — единственное место, где можно ошибиться, поэтому его лучше дробить. 470 − 47 удобно считать как 470 − 50 + 3 = 423: отняли круглое, вернули лишнее. 280 − 28 — как 280 − 30 + 2 = 252. Пятиклассник обычно делает это без записи, а третьекласснику первые дни полезно писать промежуточный результат.

Тот же приём даёт умножение на 19, 29, 49: множитель на единицу меньше круглого. 34 × 19 = 34 × 20 − 34 = 680 − 34 = 646. Для десятичных дробей ничего не меняется: 4,7 × 9 = 47 − 4,7 = 42,3.

Короткая запись без вычитания

Для двузначного числа, не оканчивающегося на 0, ответ можно записать сразу: от числа отнять число его десятков плюс 1 — это первые цифры, а дополнение последней цифры до 10 — последняя цифра.

Возьмём 74 × 9. Десятков 7, отнимаем 7 + 1 = 8: 74 − 8 = 66. Последняя цифра 4, её дополнение до 10 — 6. Ответ 666. Ещё пример: 28 × 9 → 28 − 3 = 25, 10 − 8 = 2 → 252. Почему так? Число с цифрами a и b равно 10a + b, и 9 × (10a + b) = 90a + 9b. Запись (10a + b − a − 1) × 10 + (10 − b) после раскрытия скобок даёт те же 90a + 9b. Проверьте на своих числах: совпадает всегда, если b не равно 0.

Короткая запись быстрее, но её смысл менее нагляден, поэтому сначала стоит освоить основной способ. Буквенное доказательство понятно ученику, который по ФОП ООО уже работает с выражениями, младшему хватит проверки на 3–4 примерах. Числа на 0 считаются ещё проще: 60 × 9 = 6 × 9 × 10 = 540, это уже табличный факт с нулём.

Умножение на 99 и 999

Умножение на 99 — это умножение на 100 минус само число, а для двузначного множимого ответ записывается в две пары цифр: первая пара — число минус 1, вторая — дополнение числа до 100.

Запись парами следует из той же формулы: сто раз взятое число без одного числа равно 100 × (число − 1) + (100 − число). Первое слагаемое даёт сотни, второе — две последние цифры. С 999 и трёхзначными числами всё повторяется на разряд выше: 238 × 999 = 238 000 − 238 = 237 762, и в парах это 237 | 762. Если множитель 98, как в 56 × 98, приём превращается в «× 100 − 2n»: 5 600 − 112 = 5 488.

Трёхзначные числа: где приём сложнее

Для трёхзначного множимого основной способ работает без изменений, а короткие записи — нет: 238 × 99 по парам дать нельзя, потому что 238 больше 100.

Считаем 238 × 9 = 2 380 − 238. Вычитание удобно вести в два шага: 2 380 − 200 = 2 180, затем 2 180 − 38 = 2 142. Для 99 так же: 238 × 99 = 23 800 − 238 = 23 562. Пятизначные промежуточные числа удерживать в голове уже трудно, поэтому взрослые часто проговаривают их: «двадцать три восемьсот, минус двести — двадцать три шестьсот, минус тридцать восемь — двадцать три пятьсот шестьдесят два». Проговаривание — естественный шаг от записи к счёту про себя, как это описано в теории поэтапного формирования умственных действий Гальперина^[1].

«Приёмы для 9 и 99 нужны только для олимпиад». Это миф: на ОГЭ по математике калькулятором пользоваться нельзя, а цены вида 99 или 999 встречаются в текстовых задачах постоянно. Приём экономит время в обычной школьной работе.

Проверка суммой цифр

Любое произведение на 9 делится на 9, а значит, сумма цифр ответа тоже делится на 9 — это самая быстрая проверка такого умножения.

Проверим 423: 4 + 2 + 3 = 9 — верно. 4 653: 4 + 6 + 5 + 3 = 18 — делится на 9. 2 142: 2 + 1 + 4 + 2 = 9. А если при вычитании 470 − 47 получилось 433, сумма цифр 10 на 9 не делится, и ошибка видна сразу. Признак делимости на 9 по ФОП основного общего образования изучают в 5–6 классе вместе с остальной темой делимости^[2].

Слабое место проверки — перестановка цифр: 432 и 423 оба проходят признак. Поэтому её дополняют прикидкой: 47 × 9 — это чуть меньше 47 × 10 = 470, а 432 и 423 обе в эту зону попадают, значит, нужна ещё проверка последней цифры: 7 × 9 = 63, ответ должен оканчиваться на 3. Подробнее о таком контроле — в статье проверка ответа цифровым корнем.

Тренажёр для 9 и 99

Под статьёй две карточки, построенные на проверке себя — по исследованию Roediger и Karpicke это закрепляет лучше перечитывания правила: «Умножение на 9» с числами от 12 до 89 и «Умножение на 99» с числами от 12 до 99. В каждой есть поле ответа и кнопка «Проверить».

Если ответ не сходится, кнопка «Как решать» показывает шаги: сначала произведение на 10 или 100, затем вычитание. «Другой пример» выдаёт новое задание. Разумный порядок — 3–4 дня только карточка на 9, потом добавляется карточка на 99, потом их чередуют. Перемешивание помогает: в исследовании Rohrer и Taylor задачи разных видов вперемешку дали лучший результат на итоговой проверке, чем серии одного вида^[3].

Когда обе карточки идут без ошибок, полезно перейти к родственным приёмам: умножение на 11 по сумме цифр и умножение чисел, близких к 100, где оба множителя меньше сотни.

«Ответ при умножении на 9 всегда можно проверить только суммой цифр, и этого достаточно». Это не подтверждается: перестановка цифр и ошибка ровно на 9 проходят такую проверку незамеченными. Нужна ещё прикидка или последняя цифра.

Когда приём не подходит

Не во всех случаях вычитание из круглого выгоднее: в 4 ситуациях лучше считать иначе.

• Ребёнок ещё не вычитает в пределах 1 000. Вычитание 860 − 86 станет главной трудностью; по ФОП НОО числа до 1 000 изучают в 3 классе, начните с них.
• Множимое больше 100 при умножении на 99. Короткая запись парами ломается: 238 × 99 считают только как 23 800 − 238.
• Множимое длиннее 4 цифр. Вычитание шестизначных чисел в уме ненадёжно, удобнее столбик.
• Множитель 9 стоит в паре с удобным числом, например 25 × 36 × 9. Выгоднее сначала 25 × 36 = 900, затем 900 × 9 = 8 100.

Чего делать нельзя

Нельзя учить приём как набор действий без смысла — тогда 9 и 99 начинают путаться. Шесть правил для занятий.

• Нельзя показывать короткую запись раньше основного способа: без «× 10 − n» она выглядит фокусом.
• Не стоит вычитать за один шаг, пока ребёнок путается в занимании разряда: дробите вычитаемое.
• Не следует пропускать проверку суммой цифр — она занимает 3 секунды.
• Не стоит переносить запись парами на трёхзначные числа при умножении на 99.
• Нельзя учить приём для 9 одновременно с правилом для 11. Вводите их с перерывом хотя бы в неделю.
• Не допускается считать приём заменой таблицы: 9 × 7 по-прежнему нужно помнить наизусть.

Источники

[1] Гальперин П. Я. Развитие исследований по формированию умственных действий // Психологическая наука в СССР. Т. 1. М., 1959.

[2] Приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 370 «Об утверждении федеральной образовательной программы основного общего образования».

[3] Rohrer D., Taylor K. The shuffling of mathematics problems improves learning // Instructional Science. 2007. Vol. 35, № 6. P. 481–498.

Вопросы и ответы

Чем этот приём отличается от таблицы на 9?

Таблица — это 10 фактов, которые помнят наизусть. Приём «× 10 − n» нужен для чисел, которых в таблице нет: 47, 238, 1 250. Он опирается на таблицу, но не заменяет её.

Как быстро вычесть 47 из 470?

Через круглое: отнять 50 и вернуть 3. 470 − 50 = 420, 420 + 3 = 423. Можно и по разрядам: 470 − 40 = 430, 430 − 7 = 423. Выбирайте тот путь, где реже ошибаетесь.

Работает ли приём для 0,9 и 0,99?

Да, нужно только следить за запятой. 0,9 — это 1 − 0,1, поэтому 60 × 0,9 = 60 − 6 = 54. А 0,99 = 1 − 0,01, и 300 × 0,99 = 300 − 3 = 297. Так считают скидку в 10% или 1%.

С какого класса стоит учить?

С 3–4 класса, когда ребёнок уверенно умножает на 10 и 100 и вычитает в пределах 1 000. Двузначные множимые подходят для 3–4 класса, трёхзначные и короткую запись лучше оставить на 5 класс.

Почему у 9 × 99 получается 891, а не 0891?

Ноль в начале числа не пишут. По правилу пар первая пара — 9 − 1 = 8, то есть «08», а вторая — 100 − 9 = 91. Склеиваем: 0891, и отбрасываем ведущий ноль. Ответ 891.

Что быстрее: разложение по разрядам или вычитание из круглого?

Для большинства людей второй путь: умножение на 10 мгновенное, а вычитание 760 − 76 = 684 делается через круглое. Если же для 76 сумма 630 + 54 по разрядам даётся легче, это тоже верный способ — ответ тот же.