Как возвести в квадрат двузначное число: 5 приёмов с доказательством

Какой приём выбрать: обзор

Для двузначных чисел есть 5 приёмов, и выбор зависит от того, к какому удобному числу ближе исходное. Таблица показывает, когда каждый из них быстрее остальных.

Все пять приёмов — следствия одной формулы квадрата суммы и разности. По ФОП основного общего образования формулы сокращённого умножения изучают в 7 классе^[1], и это хорошее время, чтобы связать их со счётом в уме. Но пользоваться приёмами можно и раньше, ведь ФОП ООО ставит степени уже в 5–6 класс: тогда достаточно проверить каждый приём на трёх-четырёх примерах умножением.

Квадрат числа на 5

Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся на 5, число его десятков умножают на следующее число и приписывают 25: 75² → 7 × 8 = 56 → 5 625.

Правило работает и для трёхзначных чисел на 5: у 115 «десятков» 11, и 11 × 12 = 132, поэтому 115² = 13 225. Для 105² это 10 × 11 = 110 и 11 025. Оно переносится и на десятичные дроби: 7,5² = 56,25, а 2,5² = 6,25 — нужно только поставить запятую так, чтобы после неё стояло вдвое больше знаков, чем у исходного числа.

Доказательство: число на 5 записывается как 10a + 5, а его квадрат — как 100a² + 100a + 25 = 100 × a × (a + 1) + 25. Отсюда и «десятки на следующее», и 25 на конце. Доказательство на конкретном примере тоже убедительно: 75² = (70 + 5)² = 4 900 + 700 + 25 = 5 625, и 4 900 + 700 = 5 600 = 56 сотен.

Квадраты чисел около 50

Для чисел от 41 до 59 сотни ответа равны 25 плюс отклонение от 50, а две последние цифры — квадрат отклонения. 56² → 25 + 6 = 31 и 6² = 36 → 3 136.

Для чисел меньше 50 отклонение вычитают: 44² → 25 − 6 = 19 и 36 → 1 936. Ещё несколько примеров для самопроверки: 58² → 33 и 64 → 3 364; 42² → 17 и 64 → 1 764. Если квадрат отклонения однозначный, его пишут с нулём: 51² → 26 и 01 → 2 601, 49² → 24 и 01 → 2 401.

Почему 25? Потому что 50² = 2 500, это 25 сотен. Дальше формула (50 + d)² = 2 500 + 100d + d²: удвоенное произведение 2 × 50 × d = 100d добавляет ровно d сотен. Такая аккуратная картина получается только около 50 — именно поэтому приём привязан к этому числу. В тренажёре карточка «Квадрат числа около 50» даёт числа от 41 до 59 и в разборе показывает те же шаги: отклонение, сотни, последние две цифры.

Квадрат числа около 100

Квадрат числа около 100 считается так: сотни — число плюс его отклонение от 100, две последние цифры — квадрат отклонения. 96² → 96 − 4 = 92 и 4² = 16 → 9 216.

Для чисел больше 100 отклонение прибавляют: 104² → 104 + 4 = 108 и 16 → 10 816; 103² → 106 и 09 → 10 609. Если отклонение больше 9, его квадрат трёхзначный и сотню переносят: 88² → 88 − 12 = 76, 12² = 144 → 7 600 + 144 = 7 744. Доказательство то же: (100 − d)² = 100 × (100 − 2d) + d², а 100 − 2d = (100 − d) − d. Это частный случай умножения двух чисел около 100, когда оба множителя равны, — общий приём разобран в статье умножение чисел, близких к 100.

«Квадраты в уме считают только люди с особыми способностями». Это миф: каждый приём — это формула 7 класса из ФОП ООО, применённая к удобным числам. Нужны уверенная таблица умножения и умение удерживать два числа, а не талант.

Формула (a ± b)² для любого числа

Если число не подходит ни под один частный случай, его раскладывают на круглый десяток и остаток и применяют формулу: квадрат первого, плюс или минус удвоенное произведение, плюс квадрат второго.

71² = (70 + 1)² = 4 900 + 2 × 70 × 1 + 1 = 4 900 + 140 + 1 = 5 041. Для числа чуть меньше круглого выгоднее разность: 68² = (70 − 2)² = 4 900 − 280 + 4 = 4 624. Выбирайте то разложение, где второе слагаемое меньше, — на этом примере видно почему: 68 ближе к 70, чем к 60. А 32² = 900 + 120 + 4 = 1 024 — заодно напоминание, что 2¹⁰ = 1 024.

Удвоенное произведение — самое уязвимое место. Ошибка «71² = 4 900 + 1 = 4 901» встречается постоянно: забыт средний член. Чтобы её не допускать, полезно проговаривать все три слагаемых вслух: «квадрат первого, удвоенное, квадрат второго». По теории Гальперина громкая речь — обязательная ступень перед счётом про себя^[2].

Через пару вокруг круглого

Квадрат любого числа можно получить как произведение двух чисел, равноудалённых от него, плюс квадрат расстояния: 67² = 60 × 74 + 7² = 4 440 + 49 = 4 489.

Смысл в том, чтобы одно из чисел пары было круглым. Для 67 расстояние до 60 — 7, значит, второе число 67 + 7 = 74. Умножить на 60 легко: 74 × 6 = 444, приписываем ноль. Разберём ещё два примера. Для 83²: до 80 расстояние 3, пара 80 × 86 = 6 880, плюс 9 — 6 889. Для 57²: 60 × 54 = 3 240, плюс 9 — 3 249. Это та же разность квадратов из 7 класса, прочитанная наоборот: (n − d)(n + d) = n² − d².

Как проверить ответ

Проверить квадрат можно по последней цифре и по 9: последняя цифра квадрата зависит только от последней цифры числа, а остаток от деления на 9 у квадрата равен квадрату остатка исходного числа.

У 67 последняя цифра 7, 7² = 49, значит, 67² оканчивается на 9 — у 4 489 так и есть. По 9: сумма цифр 67 даёт 13, остаток 4; 4² = 16, остаток 7. У 4 489 сумма цифр 25, остаток 7 — сходится. Квадрат вообще не может оканчиваться на 2, 3, 7 или 8, так что ответ «4 487» отбрасывается сразу. Подробнее о проверке остатками рассказано в статье проверка ответа цифровым корнем.

Тренажёр: квадраты на 5 и около 50

Под статьёй 2 карточки: «Квадрат числа на 5» с числами от 15 до 95 и «Квадрат числа около 50» с числами от 41 до 59. В каждой — пример, поле ответа, кнопки «Проверить», «Другой пример» и «Как решать».

Разбор показывает шаги приёма: для чисел на 5 — произведение десятков на следующее число и приписанные 25, для чисел около 50 — отклонение, сотни и последние две цифры. Начинайте с карточки на 5: она проще и за 1–2 дня выходит на 10 верных ответов подряд. Потом добавляйте вторую и чередуйте: перемешанные примеры заставляют каждый раз выбирать приём, а не повторять его механически. Обзор исследований распределённой практики показывает, что короткие подходы в разные дни закрепляют навык прочнее, чем длинное занятие за один раз^[3]. Квадраты от 11 до 25, которые удобнее помнить, собраны на странице таблица квадратов от 11 до 25.

Когда приём не поможет

Не во всех ситуациях приёмы оправданы: в 4 случаях лучше обойтись без них или сначала подготовить базу.

• Квадраты от 1 до 10 вызывают паузу больше 3 секунд. Все приёмы опираются на них — 6² и 7² должны всплывать мгновенно.
• Ученик младше 5 класса. По ФОП ООО понятие степени появляется в 5–6 классе; раньше лучше довести до автоматизма таблицу 10 × 10.
• Трёхзначное число далеко от круглого, например 347. Промежуточные числа шестизначные, надёжнее записать.
• Отклонение от 50 или 100 больше 10. Квадрат отклонения становится трёхзначным, и выигрыш во времени пропадает.

«Если знать приёмы, таблицу квадратов можно не учить». Это не подтверждается практикой: для 13², 17², 23² приёмы дают три-четыре шага, а помнить 15 значений от 11 до 25 быстрее и надёжнее.

Чего делать нельзя

Нельзя учить все пять приёмов за неделю — правила для 50 и 100 начнут путаться. Шесть ограничений для занятий.

• Нельзя забывать удвоенное произведение при разложении на десяток и остаток.
• Не стоит путать базу: около 50 сотни начинаются с 25, около 100 — с самого числа.
• Не следует пропускать ноль в однозначном квадрате отклонения: 51² = 2 601, а не 261.
• Нельзя сдавать ответ без проверки последней цифрой. Это занимает 2 секунды.
• Не стоит вводить новый приём, пока предыдущий не даёт 10 верных ответов подряд.
• Не допускается выдавать приёмы за развитие «особых способностей»: это вычислительный навык, и тренировка улучшает именно его.

Источники

[1] Приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 370 «Об утверждении федеральной образовательной программы основного общего образования».

[2] Гальперин П. Я. Развитие исследований по формированию умственных действий // Психологическая наука в СССР. Т. 1. М., 1959.

[3] Cepeda N. J., Pashler H., Vul E., Wixted J. T., Rohrer D. Distributed practice in verbal recall tasks: A review and quantitative synthesis // Psychological Bulletin. 2006. Vol. 132, № 3. P. 354–380.

Вопросы и ответы

Какой приём учить первым?

Правило для чисел на 5: оно короче всех и даёт результат за один шаг. Затем — числа около 50, потом формулу (a ± b)². Числа около 100 и пары вокруг круглого стоит оставить на конец, когда первые три станут привычными.

Как возвести в квадрат 99?

Через 100: отклонение 1, сотни 99 − 1 = 98, хвост 1² = 01. Ответ 9 801. Или по формуле: (100 − 1)² = 10 000 − 200 + 1 = 9 801. Оба пути занимают несколько секунд.

Почему у 45² и 55² разные первые цифры, а хвост одинаковый?

У обоих хвост 25, потому что оба оканчиваются на 5. А сотни — произведение десятков на следующее: 4 × 5 = 20 и 5 × 6 = 30. Поэтому 45² = 2 025, а 55² = 3 025 — разница ровно 1 000.

Нужны ли эти приёмы на ОГЭ?

Напрямую их не проверяют, и ни ФГОС, ни ФОП не требуют такой скорости, но калькулятором на ОГЭ по математике пользоваться нельзя, а квадраты встречаются в теореме Пифагора, площадях и уравнениях. Каждый быстрый и верный квадрат экономит время на черновике.

Работают ли приёмы для десятичных дробей?

Да, нужно только следить за запятой. 5,6² считается как 56² = 3 136, а затем запятая ставится так, чтобы после неё было два знака: 31,36. Правило: знаков после запятой у квадрата вдвое больше.

Почему приём «около 50» не работает для 62?

Работает, но неудобно: отклонение 12, его квадрат 144 трёхзначный, и сотню надо переносить: 37 + 1 = 38 сотен и 44, то есть 3 844. Для 62 быстрее формула: 3 600 + 240 + 4 = 3 844.