Как перемножить 97 × 96 или 103 × 104 в уме: метод дополнений до сотни

Метод дополнений: числа, близкие к 100 снизу

Дополнение — это то, чего числу не хватает до 100: у 97 это 3, у 88 — 12. Приём для двух чисел меньше 100 состоит из 3 шагов и не требует таблицы больше, чем 10 × 10.

1. Найдите дополнения. 98 × 95: дополнения 2 и 5.
2. Получите сотни. Из любого числа вычтите дополнение другого: 98 − 5 = 93 или 95 − 2 = 93 — всегда одно и то же.
3. Получите две последние цифры. Перемножьте дополнения: 2 × 5 = 10. Ответ 9 310.

Если произведение дополнений однозначное, его записывают с нулём: 94 × 97 → дополнения 6 и 3, сотни 94 − 3 = 91, произведение 18 → 9 118; а для 99 × 99 → 98 и 01 → 9 801. Ещё несколько примеров для проверки: 93 × 92 → 85 и 56 → 8 556; 97 × 96 → 93 и 12 → 9 312. Каждый можно сверить обычным умножением — совпадёт.

В тренажёре на этой странице карточка «Числа около 100» даёт пары от 88 до 99, и кнопка «Как решать» показывает все три шага: дополнения, сотни, последние две цифры. Этого диапазона достаточно, чтобы привыкнуть к приёму, не уходя в переносы: все пары в нём — числа, близкие к 100, с дополнениями не больше 12.

Почему метод работает

Приём следует из раскрытия скобок: если числа равны 100 − a и 100 − b, их произведение равно 100 × (100 − a − b) + a × b. Первое слагаемое — сотни, второе — последние две цифры.

Проверим на 97 × 96: a = 3, b = 4. 100 − 3 − 4 = 93 — это и есть «97 − 4». Сотни 9 300, плюс 3 × 4 = 12, всего 9 312. Объяснить это младшему школьнику можно рисунком: прямоугольник 97 на 96 — это квадрат 100 на 100 без двух полос шириной 3 и 4, а угловой кусок 3 на 4 вырезан дважды, поэтому его возвращают. Раскрытие скобок и формулы сокращённого умножения ФОП основного общего образования относит к 7 классу^[1], но сам приём доступен раньше — достаточно проверить его на нескольких примерах.

Из доказательства видно и ограничение: если a × b больше 99, оно уже не помещается в две последние цифры и сотню приходится переносить. Об этом — следующий раздел.

Когда произведение дополнений больше 99

Если дополнения большие и их произведение трёхзначное, его не приписывают, а прибавляют к сотням: 88 × 89 → 88 − 11 = 77 сотен, 12 × 11 = 132, и 7 700 + 132 = 7 832.

Типичная ошибка здесь — склеить: «77» и «132» дают неверное 77 132. Прикидка ловит её сразу: 88 × 89 меньше 90 × 90 = 8 100, пятизначный ответ невозможен. Ещё пример: 85 × 88 → дополнения 15 и 12, сотни 85 − 12 = 73, произведение 180 → 7 300 + 180 = 7 480. Однако чем дальше числа от сотни, тем меньше пользы: для чисел, близких к 100, приём хорош, а с дополнениями больше 12 быстро теряет смысл: перемножать 15 × 12 почти так же трудно, как исходные числа. Для пары 91 × 89 дополнения 9 и 11, сотни 80, произведение 99 — оно ещё помещается: 8 099.

Числа, близкие к 100 сверху, и смешанные пары

Для чисел больше 100 избытки над сотней не вычитают, а прибавляют: 103 × 104 → 103 + 4 = 107 сотен, 3 × 4 = 12, ответ 10 712. Формула та же, только с плюсами.

Так считаются 108 × 109 → 117 и 72 → 11 772, или 112 × 105 → 117 и 60 → 11 760. Смешанная пара, где одно число меньше 100, а другое больше, требует внимания к знаку, и браться за неё стоит только после того, как по ФОП ООО пройдены отрицательные числа. 97 × 104: отклонения −3 и +4. Сотни: 97 + 4 = 101, то есть 10 100. Произведение отклонений отрицательное: −3 × 4 = −12, его вычитают: 10 100 − 12 = 10 088. Аналогично 102 × 97 = 9 900 − 6 = 9 894.

Тот же приём работает около 1 000 и около 50. Для 996 × 997 дополнения 4 и 3, «тысячи» 993, произведение 12 записывается тремя цифрами — 012: ответ 993 012. Около 50 сотни приходится делить пополам: 48 × 47 → 50 × 45 + 2 × 3 = 2 250 + 6 = 2 256. Квадраты чисел около 50 и 100 — частный случай, он подробно разобран в статье квадрат числа в уме.

«Метод дополнений — особая система, которую нужно изучать месяцами». Это миф: приём выводится из раскрытия скобок за две строки и осваивается за 2–3 занятия. Трудность только в переносе и знаке, а не в самом методе.

Умножение на 101

Умножить двузначное число на 101 — значит записать его дважды подряд: 47 × 101 = 4 747. Причина в том, что 101 = 100 + 1, и 47 × 101 = 4 700 + 47.

С трёхзначным числом копирование не работает, потому что разряды налезают друг на друга: 123 × 101 = 12 300 + 123 = 12 423, а не 123 123. Здесь копирование не подходит, проще честно сложить. Для однозначных чисел нужен ноль: 7 × 101 = 707. Соседний приём — умножение на 99 через 100 − 1 — подробно разобран в материале умножение на 9 и 99 в уме. Пара 99 × 101 даёт красивый ответ 9 999, и его удобно проверить обоими способами.

«Приём дополнений даёт точный ответ только для чисел от 90 до 99». Это не подтверждается доказательством: формула верна для любых чисел, просто при больших дополнениях выигрыш во времени исчезает.

Как проверить ответ

Быстрее всего проверить ответ прикидкой и последней цифрой: произведение двух чисел меньше 100 всегда меньше 10 000, а последняя цифра совпадает с последней цифрой произведения единиц.

Для 97 × 96 единицы 7 и 6, 7 × 6 = 42, значит, ответ оканчивается на 2 — у 9 312 так и есть. Для 88 × 89 единицы 8 и 9 дают 72, ответ 7 832 оканчивается на 2 — сходится. Ответ 77 132 отбрасывается прикидкой. Можно также проверить по 9: сумма цифр 97 даёт остаток 7, у 96 — 6, произведение остатков 42 даёт 6; у 9 312 сумма цифр 15, остаток тоже 6. Подробнее о такой проверке — в статье проверка ответа цифровым корнем.

Тренажёр: две карточки

Под статьёй 2 карточки: «Числа около 100» с парами от 88 до 99 и «Умножение на 101» с числами от 10 до 99. В каждой — пример, поле ответа, кнопки «Проверить», «Другой пример» и «Как решать».

Начните с карточки на 101 — это разминка на 1–2 дня. Потом переходите к числам около 100 и решайте сначала с проговариванием: «дополнения три и четыре, сотни девяносто три, хвост двенадцать». По теории поэтапного формирования умственных действий Гальперина громкая речь помогает перевести действие во внутренний план^[2]. Когда 10 ответов подряд верны, можно решать молча и следить за временем. Исследование Roediger и Karpicke показало, что самопроверка закрепляет лучше перечитывания, поэтому сначала решайте, а потом открывайте разбор.

Когда приём не подходит

Не к каждой паре чисел стоит применять дополнения: в 4 случаях обычный способ быстрее.

• Дополнения больше 15, как у 82 × 84. Их произведение (18 × 16) почти такое же трудное, как исходный пример.
• Числа по разные стороны сотни далеко от неё, как 85 × 117. Отрицательное произведение отклонений и большой перенос — слишком много шагов.
• Ученик младше 4 класса. По ФОП НОО внетабличное умножение в пределах 100 проходят в 3 классе, а без него каждый шаг станет отдельной задачей.
• Множитель на 101 трёхзначный. Правило «повтори число» ломается, считайте 100 + 1 явно.

Чего делать нельзя

Нельзя давать приём как фокус без объяснения: при первом переносе он развалится. Шесть ограничений для занятий.

• Нельзя забывать ноль в однозначном произведении дополнений: 94 × 97 — это 9 118, а не 918.
• Не стоит склеивать трёхзначное произведение с сотнями — его прибавляют.
• Не следует путать знак в смешанных парах: при отклонениях разного знака произведение вычитается.
• Нельзя сдавать ответ без прикидки: произведение двух чисел меньше 100 — меньше 10 000.
• Не стоит вводить пары больше 100 раньше, чем идут пары меньше 100.
• Не допускается гнаться за скоростью при точности ниже 90%: перемешанная практика с проверкой полезнее^[3].

Источники

[1] Приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 370 «Об утверждении федеральной образовательной программы основного общего образования».

[2] Гальперин П. Я. Развитие исследований по формированию умственных действий // Психологическая наука в СССР. Т. 1. М., 1959.

[3] Rohrer D., Taylor K. The shuffling of mathematics problems improves learning // Instructional Science. 2007. Vol. 35, № 6. P. 481–498.

Вопросы и ответы

Из какого числа вычитать дополнение?

Из любого — результат одинаковый. 97 − 4 и 96 − 3 оба дают 93. Удобнее вычитать меньшее дополнение из меньшего числа или просто то, что быстрее приходит в голову. Это хорошая встроенная проверка: посчитайте обоими способами.

Почему 99 × 99 = 9 801, а не 981?

Произведение дополнений 1 × 1 = 1 нужно записать двумя цифрами — 01, потому что оно занимает разряды десятков и единиц. Сотни 98, хвост 01, ответ 9 801. Без нуля получится число в десять раз меньше.

Работает ли приём около 200 или 1 000?

Да, нужно только помнить основу. Около 1 000 хвост занимает три цифры: 996 × 997 = 993 012. Около 200 сотни удваивают: 198 × 197 → (198 − 3) × 2 = 390 сотен, плюс 2 × 3 = 6, ответ 39 006.

Зачем это школьнику, если есть столбик?

На ОГЭ калькулятором пользоваться нельзя, а приём проверяет понимание скобок и разрядов лучше, чем столбик. Кроме того, он показывает, что алгебра из 7 класса — не абстракция, а инструмент для счёта.

С какого класса можно учить?

С 4–5 класса для пар меньше 100, с 6 класса — для смешанных пар с отрицательным произведением, когда пройдены отрицательные числа. Доказательство через скобки удобнее давать в 7 классе.

Сколько тренироваться с числами, близкими к 100?

Хватает 5 минут через день в течение 2 недель. Короткие разнесённые подходы закрепляют лучше одного длинного — это вывод обзора исследований распределённой практики Cepeda и коллег, и он справедлив для любых вычислительных приёмов.