Как делить без столбика: разложение делимого и подбор частного

Из чего складывается деление в уме

Деление в уме опирается на три умения: знать табличное деление, раскладывать число на удобные части и проверять частное умножением. Если одно из трёх не освоено, способы ниже работать не будут.

Табличное деление изучают во 2 классе, внетабличное деление в пределах 100 и деление с остатком — в 3 классе, деление многозначных чисел на однозначное и двузначное — в 4 классе по ФОП НОО, утверждённой приказом Минпросвещения № 372^[1]. Ни ФГОС, ни ФОП не задают норм скорости деления: важны правильный ответ и понимание способа. Письменный столбик в 4 классе не отменяет устного счёта: прежде чем делить столбиком, ученик прикидывает, сколько цифр будет в частном, а это тоже деление в уме.

Главное отличие деления от остальных действий — его нельзя выполнить «по разрядам» так же просто, как сложение. Сотни не всегда делятся на делитель без остатка, и остаток переходит в следующий разряд. Поэтому при делении в уме число разбивают не на разряды, а на части, каждая из которых делится нацело. Для 952 : 7 это 700 и 252, а не 900, 50 и 2.

Ещё одна опора — связь с умножением. Ребёнок, который знает 7 × 36 = 252, сразу видит, что 252 : 7 = 36. Тот, кто учил таблицу только «в одну сторону», каждый раз перебирает варианты. Полезно сразу проговаривать пары: «шесть на восемь — сорок восемь, сорок восемь на восемь — шесть». Подробно эта связь разобрана в материале про таблицу деления и тройки фактов.

Разложение делимого на удобные части

Удобная часть — это слагаемое делимого, которое делится на делитель без остатка: для 744 : 6 удобно взять 600 и 144, потому что 600 : 6 = 100, а 144 : 6 = 24, ответ 124.

1. Найдите круглое кратное. Для делителя 7 подходят 70, 140, 350, 700; выберите самое большое, которое не больше делимого.
2. Отнимите его от делимого. 952 − 700 = 252.
3. Разделите обе части. 700 : 7 = 100, 252 : 7 = 36.
4. Сложите частные. 100 + 36 = 136.

Иногда удобнее не прибавлять, а отнимать. 588 : 6 проще считать как 600 : 6 − 12 : 6 = 100 − 2 = 98, а 693 : 7 — как 700 : 7 − 7 : 7 = 99. Этот вариант выбирают, когда делимое чуть меньше круглого кратного. Работает он по тому же распределительному свойству, что и умножение суммы на число: разделить сумму или разность можно, разделив каждую часть отдельно.

Частая ошибка при разложении — взять часть, которая не делится нацело. Ученик делит 828 на 4 как 800 : 4 и 28 : 4 — это верно, 200 + 7 = 207. Но 828 : 6 по тому же шаблону уже не выходит: 800 на 6 не делится. Тогда берут 600 и 228, а 228 раскладывают ещё раз: 180 и 48. Получается 100 + 30 + 8 = 138. Без промежуточной проверки здесь не обойтись. Для таких цепочек и нужен навык внетабличного умножения и деления из 3 класса.

Деление на составной делитель по шагам

Если делитель раскладывается на множители, делят по очереди на каждый: деление на 12 — это деление на 2, а потом на 6, деление на 36 — на 4, а потом на 9.

Порядок шагов можно выбирать. Для 504 : 36 сначала делить на 9 неудобно: 504 : 9 = 56, а потом 56 : 4 = 14 — тоже верно, но первое деление труднее. Обычно начинают с того делителя, на который число делится заметно проще, чаще всего с 2 или 4. Понять заранее, делится ли число на 4 или на 9, помогают признаки делимости по последним цифрам и сумме цифр.

Есть и обратный ход: делимое и делитель можно умножить на одно и то же число, частное не изменится. 315 : 15 удобнее как 630 : 30 = 21, а 270 : 45 — как 540 : 90 = 6. Удвоение превращает неудобные делители, оканчивающиеся на 5, в круглые делители 10, 30 или 90.

Деление на 5, 25 и 50 через умножение

Разделить на 5 — значит умножить на 2 и разделить на 10, потому что 5 — это половина от 10. По той же логике делитель 25 заменяют на «× 4 и : 100», делитель 50 — на «× 2 и : 100», делитель 125 — на «× 8 и : 1 000».

• : 5. 345 : 5 = 690 : 10 = 69.
• : 25. 675 : 25 = 2 700 : 100 = 27.
• : 50. 850 : 50 = 1 700 : 100 = 17.
• : 125. 3 000 : 125 = 24 000 : 1 000 = 24.

Этот способ надёжнее, чем подбор, потому что умножить на 2 или 4 почти никто не ошибается. Если делимое не делится нацело, ответ получится десятичной дробью: 63 : 5 = 126 : 10 = 12,6. В 3–4 классе такие примеры не дают: десятичные дроби по ФОП ООО изучают только в 5–6 классе. Умножение на эти же числа подробно разобрано в статье об умножении на 5 и 25.

«Существует один универсальный приём, который позволяет делить в уме любые числа». Такого приёма не существует: каждый способ работает для чисел определённого вида — для делителей 5, 25, 50, для составных делителей, для делимого рядом с круглым кратным.

Двузначный делитель: прикидка и подбор частного

Чтобы разделить на двузначное число в уме, делитель и делимое округляют, находят примерное частное, а потом уточняют его умножением: 918 : 27 ≈ 900 : 30 = 30, а точный ответ 34.

Как получить 34 из прикидки 30? Умножаем: 27 × 30 = 810. До 918 не хватает 108, а 108 : 27 = 4. Значит, частное 30 + 4 = 34. Похоже решается 1 488 : 48: прикидка 1 500 : 50 = 30, затем 48 × 30 = 1 440, остаётся 48, это ещё одна часть, ответ 31. Прикидка не даёт точного ответа, она только сужает поиск. В примере 2 451 : 57 прикидка 2 400 : 60 = 40 даёт 57 × 40 = 2 280, остаток 171 = 57 × 3, частное 43.

Помогает и последняя цифра. Если 952 делится на 7 нацело, последняя цифра частного при умножении на 7 должна дать 2 в конце. Это возможно только для 6, потому что 6 × 7 = 42. Так из прикидки «около 130» сразу получается 136. Подобные оценки подробнее разобраны в материале об округлении и прикидке результата.

Подбор частного — тот же шаг, что и в письменном делении столбиком, только без записи. По ФОП НОО деление на двузначное число в 4 классе выполняют письменно, а устная прикидка нужна, чтобы найти первую цифру частного. Поэтому полезно хотя бы иногда решать пример сначала в уме, а потом проверять столбиком. Ребёнок видит, что действие одно и то же, а не два разных школьных правила.

Проверка частного и деление с остатком

Проверка деления — это умножение частного на делитель: если 136 × 7 = 952, ответ верный. При делении с остатком к произведению прибавляют остаток: 100 : 7 = 14 (ост. 2), потому что 14 × 7 + 2 = 100.

Проверку стоит делать тем же разложением, что и деление: 136 × 7 = 100 × 7 + 36 × 7 = 700 + 252 = 952. На это уходит несколько секунд, а ошибка в одной части сразу становится видна. Для деления с остатком есть простое правило: остаток всегда меньше делителя. Если при делении на 9 получился остаток 11, частное занижено на единицу: 250 : 9 = 27 (ост. 7), а не 26 (ост. 16).

Проверка извлечением из памяти закрепляет навык лучше, чем повторное чтение готового решения, — это показано в исследовании Roediger и Karpicke^[3]. Исследование касалось запоминания, но вывод про самопроверку полезен и для счёта. Для деления это означает простую вещь: ребёнок сам умножает частное на делитель, а не смотрит в ответ.

«Если ребёнок хорошо делит в уме, проверять ответ уже не нужно». Это миф: при подборе частного в двузначном делении ошибка на единицу встречается и у тех, кто считает уверенно, а проверка умножением её ловит.

Как тренировать деление на тренажёре

Тренажёр деления даёт примеры по одному: введите частное в поле ответа и нажмите Enter, программа сразу покажет «Верно» или «Правильно: …» с верным числом. Есть два режима — «60 секунд» и «20 примеров».

После серии вы увидите, сколько ответов верно, точность, секунд на пример, список ошибок и совет. Последние 6 тренировок сохраняются под кнопкой «Начать», так что рост заметен без записей в тетради. Начинать лучше с режима «20 примеров»: в нём нет гонки, и можно спокойно разложить делимое. Режим «60 секунд» не стоит включать раньше времени: его включают только после того, как точность стабильно держится выше 90%.

Удобный ритм — 5–7 минут в день вместо одного длинного занятия в выходные: по обзору Cepeda и соавторов, распределённая практика даёт лучшее долговременное запоминание^[4]. В исследовании Rohrer и Taylor перемешанные задачи дали лучший итог, чем блоки однотипных^[5], поэтому делить имеет смысл вперемешку с умножением и вычитанием.

Когда деление в уме не подходит

Не всякий пример стоит решать без записи, и делители бывают слишком неудобными. В четырёх ситуациях лучше взять тетрадь или сначала подтянуть основу.

• Таблица умножения не выучена. Если ребёнок ошибается больше чем в 2 фактах из 10, способы разложения только запутают.
• Ученик 1–2 класса. Внетабличное деление по программе начинается в 3 классе, раньше достаточно табличного.
• Делимое из 5 и более цифр. Держать в голове три промежуточных частных трудно, такие примеры решают столбиком.
• Делитель — трёхзначное некруглое число. Пример 9 874 : 263 прикидкой оценить можно, а точный ответ надёжнее получить письменно.

Чего делать нельзя

Нельзя превращать деление без записи в соревнование на скорость, пока способ не понят. Вот правила, которые берегут и точность, и интерес.

• Нельзя давать способ без объяснения. Покажите хотя бы раз, почему 345 : 5 и 690 : 10 дают одно число.
• Не следует запрещать запись промежуточных шагов. Пометка «700 и 252» на полях — нормальная ступень к счёту без опоры.
• Не стоит подсказывать ответ. Лучше спросить: «Какое круглое число делится на 7 и меньше 952?»
• Нельзя пропускать проверку умножением в примерах с двузначным делителем.
• Не стоит учить все способы за одну неделю. Один новый способ в неделю усваивается, четыре — смешиваются.
• Не следует сравнивать темп ребёнка с одноклассниками. Сравнивайте с его же результатами в истории тренажёра.

Проговаривание шагов вслух — нормальный этап: по Гальперину умственное действие формируется от материального через громкую речь к внутреннему плану^[2]. Требовать «молча и сразу» на первых занятиях — значит пропустить этот этап.

Источники

[1] Приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 372 «Об утверждении федеральной образовательной программы начального общего образования».

[2] Гальперин П. Я. Развитие исследований по формированию умственных действий // Психологическая наука в СССР. Т. 1. М., 1959.

[3] Roediger H. L., Karpicke J. D. Test-enhanced learning: Taking memory tests improves long-term retention // Psychological Science. 2006. Vol. 17, № 3. P. 249–255.

[4] Cepeda N. J., Pashler H., Vul E., Wixted J. T., Rohrer D. Distributed practice in verbal recall tasks: A review and quantitative synthesis // Psychological Bulletin. 2006. Vol. 132, № 3. P. 354–380.

[5] Rohrer D., Taylor K. The shuffling of mathematics problems improves learning // Instructional Science. 2007. Vol. 35, № 6. P. 481–498.

Вопросы и ответы

С какого класса ребёнок должен делить без столбика?

По ФОП НОО табличные примеры — со 2 класса, внетабличные в пределах 100 вроде 84 : 4 или 96 : 6 — с 3 класса. Трёхзначные числа на однозначное в уме решают по желанию: программа требует умения делить, а не запрет на запись.

Почему ребёнок путается, когда делит на 4 пополам дважды?

Обычно он теряет промежуточный результат. Попросите называть его вслух: «916 пополам — 458, ещё пополам — 229». Через неделю-две проговаривание сокращается само, и цепочка держится в голове без усилий.

Как быстро понять, будет ли остаток?

Для 2, 5 и 10 смотрите на последнюю цифру, для 3 и 9 — на сумму цифр, для 4 и 25 — на две последние цифры. Например, 742 на 3 нацело не разделится: сумма цифр 13, а 13 на 3 не делится.

Что делать, если частное получилось слишком большим?

Сравните его с прикидкой. Частное от 918 и 27 не может быть больше 918 : 20, то есть примерно 46. Если вышло 340, вероятно, лишний ноль появился при разложении на части — проверьте каждую часть умножением.

Можно ли делить в уме десятичные дроби?

Да, если делитель — натуральное число: 4,8 : 6 = 0,8, потому что 48 : 6 = 8. Когда в делителе тоже дробь, сначала переносят запятую в обоих числах. Это материал 5–6 класса, раньше давать его не нужно.

Сколько примеров решать за одно занятие?

Одной серии «20 примеров» обычно хватает. Если точность ниже 80%, лучше разобрать ошибки и повторить завтра, чем решать вторую серию подряд: усталость снижает точность сильнее, чем добавляет практики.