Как считать с отрицательными числами по шагам на прямой

Как устроена числовая прямая

Числовая прямая задаётся 3 вещами: точкой 0, единичным отрезком и направлением. Справа от нуля лежат положительные числа, слева — отрицательные, и каждое число занимает свою точку.

Единичный отрезок — это расстояние от 0 до 1. Его можно выбрать любым, но менять его посреди рисунка не стоит: клетка тетради, сантиметр, шаг по комнате. Главное — держать его одинаковым по всей прямой, иначе расстояния начнут обманывать. Направление на прямой показывают стрелкой вправо: туда числа растут. Число −3 лежит на три отрезка левее нуля, число 3 — на три отрезка правее, и эти точки симметричны относительно нуля.

В начальной школе работают с лучом: 8 + 5 на нём — два шага до 10 и ещё три, итого 13. В 5–6 классе по ФОП основного общего образования появляются отрицательные числа^[1], и луч достраивают влево до прямой. Способ остаётся тем же, меняется только то, что за нулём можно идти дальше. ФОП не требует рисовать прямую на каждом уроке, но без неё правила знаков приходится принимать на веру.

Сложение и вычитание на числовой прямой

Чтобы сложить или вычесть на числовой прямой, ставят точку на первом числе и делают шаги: прибавить положительное — вправо, вычесть положительное — влево. Число шагов равно второму числу.

• 3 − 7. От 3 влево на 7 шагов: три шага до нуля, ещё четыре — точка −4.
• (−5) + 9. От −5 вправо на 9 шагов: пять до нуля, ещё четыре — ответ 4.
• (−2) − 6. От −2 влево на 6 шагов: ответ −8.
• (−11) + 4. От −11 вправо на 4 шага: до нуля не дошли, ответ −7.

Удобный приём — «через ноль»: шаги делят на две части, до нуля и после. Это тот же переход через десяток, только круглое число теперь 0. В примере 3 − 7 первые три шага приводят в ноль, оставшиеся четыре уводят в минус, поэтому ответ −4 виден сразу.

«Минус на минус всегда даёт плюс». Это миф, если речь о сложении: (−3) + (−4) = −7, то есть два шага влево подряд. Правило о знаках относится к умножению: (−3) × (−4) = 12.

Как прибавлять и вычитать отрицательные числа

Прибавить отрицательное число — это шагнуть влево, а вычесть отрицательное — шагнуть вправо. Знак второго числа разворачивает направление движения по прямой.

Почему вычитание отрицательного уводит по прямой вправо? Вычитание отвечает на вопрос «на сколько одно число больше другого». На прямой от −3 до 4 ровно 7 шагов, значит, 4 − (−3) = 7. Второе объяснение — бытовое: если из долга в 3 рубля «вычеркнуть» этот долг, денег становится больше, а не меньше.

Отсюда короткое правило для устного счёта: два минуса подряд, «− (−», превращаются в плюс, а «+ (−» — в минус. Вводить правило стоит только после того, как ребёнок несколько раз сделал шаги на прямой и увидел, откуда оно берётся.

Модуль числа — расстояние до нуля

Модуль числа — это расстояние от его точки до нуля, и поэтому он никогда не бывает отрицательным. |−6| = 6 и |6| = 6: обе точки отстоят от нуля на шесть отрезков.

Через модуль удобно считать расстояние между двумя точками прямой. Между −3 и 5 — восемь отрезков: три до нуля и пять после, или |5 − (−3)| = 8. Между −9 и −2 — семь отрезков: |−2 − (−9)| = 7. Путать расстояние с разностью без модуля нельзя: расстояние не бывает отрицательным. Это пригодится в задачах на температуру и высоту: от −4° до +6° воздух прогрелся на 10 градусов.

Модуль помогает и при сложении чисел с разными знаками, когда рисовать прямую неудобно. В (−13) + 8 сравнивают модули: 13 больше 8, значит, ответ отрицательный, а его модуль — разность 13 − 8 = 5. Ответ −5. На прямой то же самое видно как восемь шагов вправо от −13, которые не дотягивают до нуля.

Сравнение чисел на прямой

Из двух чисел больше то, которое лежит правее на прямой. Это единственное правило сравнения, и оно работает для любых чисел — положительных, отрицательных и нуля.

• Положительное больше отрицательного. 1 > −100, потому что 1 правее нуля, а −100 левее.
• Ноль больше любого отрицательного. 0 > −1.
• Из двух отрицательных больше то, у которого модуль меньше. −2 > −9: на прямой точка −2 ближе к нулю.

«Чем больше цифра, тем больше число — и для отрицательных тоже». Это миф: −9 лежит левее −2, значит, оно меньше. Термометр это подтверждает: при −9° холоднее, чем при −2°.

Чувство числа и картинка в голове

Мысленная числовая линия — это внутреннее представление величин, в котором числа выстроены по порядку. Dehaene описывает «чувство числа» как приблизительное представление величин и связывает его с такой линией^[2].

Рисунок на бумаге делает эту внутреннюю картинку явной и точной. Деан подчёркивает приблизительность этого чувства: точный ответ всё равно нужно вычислить. Но когда ребёнок много раз прошёл шагами от −5 до 4, ему проще прикинуть, что 4 − (−5) — это «довольно много, около десяти», и заметить ошибку, если получилось −1. По Гальперину, умственное действие складывается поэтапно: сначала с материальной опорой, затем в громкой речи, затем про себя^[3]. Рисунок со шкалой — это и есть опора первого этапа.

Опору по Гальперину убирают постепенно: сначала шкала на бумаге, потом линия, которую ребёнок рисует пальцем в воздухе, потом только проговаривание «три до нуля, ещё четыре». Связанные темы для младших классов есть в материале о переходе через десяток, где луч помогает так же.

Как работает тренажёр

Тренажёр даёт примеры на сложение и вычитание с числами от −20 до 20. Отрицательные числа записаны в скобках: (−7) + 12, 5 − (−6), (−14) − 3.

• Режимы. «60 секунд» и «20 примеров» — на темп или на точность.
• Ввод ответа. Отрицательный ответ пишут со знаком минус перед числом, затем Enter; сразу видно «Верно» или «Правильно: …».
• Итог. Верные ответы, точность, секунд на пример, список ошибок и совет.

Ответы к примерам выше: 5, 11 и −17. Если ошибки идут именно в знаке — ответ 17 вместо −17, — нарисуйте шкалу и решите эти примеры шагами. Отрицательные числа по ФОП изучают в 5–6 классе, а весь устный счёт этого возраста собран в разделе про устный счёт в 6 классе.

Когда рисунок не поможет

Рисунок со шкалой не поможет в 4 ситуациях — когда трудность не в знаках, а в самом счёте или в размере чисел.

• Ребёнок путается в сложении в пределах 20. Сначала нужно уверенное 8 + 7, иначе шаги превращаются в пересчёт по одному.
• Числа больше 100 по модулю. Рисовать шкалу до −350 неудобно; здесь работают правила знаков и сравнение модулей.
• Нужно умножить или разделить, например (−4) × 6. Шаги показывают сложение; для умножения запоминают правило знаков.
• Ребёнок в 1–2 классе. Отрицательные числа ему ещё не нужны; хватает луча от 0 и переходов через десяток.

Если в выражении несколько действий со знаками, сначала определяют, что считать первым; об этом — статья про порядок действий в примерах.

Чего делать нельзя

Нельзя давать правила знаков раньше, чем ребёнок увидел, откуда они берутся. Шесть правил для взрослого.

• Нельзя начинать с заучивания «минус на минус даёт плюс». Без опоры правило переносят на сложение и ошибаются.
• Не стоит рисовать шкалу с разными отрезками. Неровная шкала искажает расстояния и модуль.
• Не следует пропускать ноль при счёте шагами. Переход через ноль — отдельный шаг, его стоит проговаривать.
• Нельзя называть модуль просто «числом без минуса». Это расстояние, и в задачах важен именно этот смысл.
• Не стоит убирать рисунок сразу после первых верных ответов. Опору снимают постепенно.
• Не следует включать таймер, пока путаются знаки. Сначала точность, потом темп.

Источники

[1] Приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 370 «Об утверждении федеральной образовательной программы основного общего образования».

[2] Dehaene S. The Number Sense: How the Mind Creates Mathematics. New York: Oxford University Press, 1997.

[3] Гальперин П. Я. Развитие исследований по формированию умственных действий // Психологическая наука в СССР. Т. 1. М., 1959.

Вопросы и ответы

Зачем рисовать шкалу, если можно выучить правила?

Правила без картинки легко путаются: «минус на минус» переносят на сложение, вычитание отрицательного делают влево. Рисунок показывает, откуда правило берётся, и позволяет проверить себя, если сомневаешься в знаке.

Как объяснить отрицательные числа ребёнку?

Через знакомые вещи: термометр, этажи ниже нулевого, долг. На термометре видно, что −5° ниже нуля и холоднее, чем −1°. Потом ту же шкалу кладут горизонтально — и получается знакомая картинка.

Почему (−8) + 11 положительное, а (−11) + 8 отрицательное?

Решает, какой модуль больше. В первом случае 11 шагов вправо уводят за ноль: ответ 3. Во втором 8 шагов вправо от −11 до нуля не дотягивают: ответ −3.

Как вводить отрицательный ответ в тренажёре?

Знак минус перед числом без пробела: −5 или -5, подходят оба варианта. Скобки при вводе не нужны. Затем Enter, и сразу появится проверка с верным ответом.

Чем модуль отличается от противоположного числа?

Противоположное число лежит симметрично относительно нуля: для 6 это −6, для −6 это 6. Модуль — расстояние до нуля, он всегда положительный или равен нулю: |6| и |−6| равны 6.

Сколько тренироваться, чтобы перестать путать знаки?

Обычно хватает 1–2 недель по 10 минут: сначала шаги на рисунке, затем серия «20 примеров» без таймера. Когда точность держится выше 90% несколько дней подряд, можно включать «60 секунд».