В каком порядке решать выражение со скобками: правила и ошибки

Три правила порядка действий

Порядок действий определяется 3 правилами, и применять их нужно именно в этой очерёдности: скобки, затем действия второй ступени, затем первой ступени.

1. Скобки первыми. Всё, что стоит в скобках, вычисляют раньше остального: (5 + 3) × 4 = 8 × 4 = 32. Если скобки вложены, начинают с внутренних.
2. Умножение и деление раньше сложения и вычитания. В выражении 30 − 12 : 3 сначала делят: 12 : 3 = 4, затем 30 − 4 = 26.
3. Одна ступень — слева направо. Если в выражении только сложение и вычитание или только умножение и деление, действия выполняют по порядку записи: 48 : 6 × 2 = 8 × 2 = 16.

Сложение и вычитание называют действиями первой ступени, умножение и деление — второй. Внутри скобок работают те же правила: в (18 − 2 × 4) сначала умножение, потом вычитание, и в скобках получается 10.

«Умножение всегда выполняют раньше деления, а сложение — раньше вычитания». Это миф: умножение и деление равноправны, как и сложение с вычитанием. Между ними решает только порядок записи: 48 : 6 × 2 = 16, а не 48 : 12 = 4.

Почему порядок действий именно такой

Порядок действий — это договорённость, которая нужна, чтобы одно выражение у всех давало один ответ. Без неё запись 5 + 3 × 4 читалась бы двумя способами.

У договорённости есть понятная логика. Умножение — это свёрнутое сложение: 3 × 4 означает «три раза по четыре», то есть 4 + 4 + 4. Значит, 5 + 3 × 4 — это 5 + 4 + 4 + 4 = 17. Произведение держится вместе как одно число, поэтому его вычисляют раньше, чем прибавляют к нему что-то ещё. Скобки нужны ровно для обратного случая: когда сначала надо сложить, а уже потом умножить, — (5 + 3) × 4.

В 5–6 классе появляются степени, и к правилу добавляется третья ступень: степень вычисляют раньше умножения^[2]. Например, 2 + 3² × 2 = 2 + 9 × 2 = 2 + 18 = 20. Логика та же: 3² — это 3 × 3, свёрнутое умножение, и держится оно ещё крепче.

Как расставить номера действий

Чтобы не запутаться в длинном выражении, над каждым знаком заранее ставят номер — это 1 минута, которая спасает от большинства ошибок. Решать начинают только после того, как пронумерованы все знаки.

Разберём выражение 36 − 4 × (2 + 5) + 18 : 3. Номер 1 — сложение в скобках. Номер 2 — умножение 4 × (…). Номер 3 — деление 18 : 3. Номер 4 — вычитание, номер 5 — сложение в конце. Теперь по шагам: 2 + 5 = 7; 4 × 7 = 28; 18 : 3 = 6; 36 − 28 = 8; 8 + 6 = 14.

Нумерация — это и есть внешняя опора, о которой писал Гальперин: умственное действие сначала выполняется с опорой и проговариванием, а потом переходит во внутренний план^[3]. Когда ребёнок без ошибок решает выражения в 3–4 действия, номера можно ставить мысленно. По Гальперину, торопить этот переход не стоит: опору убирают, только когда действие с ней выполняется уверенно.

Порядок действий в школьной программе

Правило нужно с того момента, как в одном выражении встречаются действия разных ступеней. Это случается во 2 классе, когда к сложению и вычитанию в пределах 100 добавляются табличное умножение и деление^[1].

По ФОП начального общего образования дальше правило работает в каждом классе на всё более сложном материале. В 3–4 классе выражения становятся длиннее и включают внетабличное умножение и деление. В 5–6 классе по ФОП основного общего образования добавляются степени, дроби и отрицательные числа, а в 7 классе — формулы сокращённого умножения, где без уверенного порядка действий преобразования не получаются. Поэтому пробел, оставленный во 2 классе, потом даёт ошибки в алгебре. Ни ФГОС, ни ФОП не задают нормативов скорости счёта, так что спешить с длинными выражениями не нужно — важнее верный порядок.

С отрицательными числами правило не меняется, но добавляется работа со знаками; о том, как представить такие действия наглядно, рассказано в материале о числовой прямой и отрицательных числах.

Частые ошибки и как их исправить

Ошибки в порядке действий почти всегда относятся к 4 типам, и каждый видно по самому ответу. Если знать тип, исправление занимает пару занятий.

Лучшее лекарство от всех четырёх — нумерация знаков и проверка прикидкой: каждый пример стоит оценить до точного счёта. В выражении 5 + 3 × 4 ответ 32 слишком велик: даже 5 + 12 меньше двадцати. Привычку прикидывать результат подробно разбирает статья про округление и прикидку ответа.

«Если в примере нет скобок, его можно решать в любом порядке». Такого правила не существует. Свобода есть, только когда все действия — сложение или все — умножение: 7 + 25 + 3 = 35 при любом порядке. Но 20 − 8 + 3 и 20 − 11 дают разные ответы.

Почему при одном сложении порядок можно менять, объясняют переместительное и сочетательное свойства; они подробно разобраны в статье про свойства сложения и умножения.

Как работает тренажёр

Тренажёр даёт выражения 4 видов в два действия с числами от 2 до 9: со скобками и без, с умножением, делением, сложением и вычитанием. Например, 6 + 4 × 7 или (3 + 5) × 6. Ответ на первый пример — 34, на второй — 48. Почему виды не идут блоками, объясняет исследование о перемешанных задачах — о нём ниже.

• Режимы. «60 секунд» — сколько успеете за минуту, «20 примеров» — серия без таймера.
• Проверка. Ответ вводят в поле и нажимают Enter; сразу видно «Верно» или «Правильно: …».
• Итог. Верные ответы, точность, секунд на пример, список ошибок и совет.

Виды выражений идут вперемешку, и каждый пример требует заново выбрать первое действие. В исследовании Rohrer и Taylor перемешанные задачи разных типов дали лучший результат на итоговой проверке, чем блоки однотипных^[4], — каждый раз приходится заново решать, что делать первым. Последние 6 тренировок сохраняются под кнопкой «Начать».

Для письменной практики подойдёт тип «Порядок действий» в генераторе примеров для печати: там можно распечатать лист на 12–40 выражений с ответами.

Когда тренажёр не поможет

Тренажёр не поможет в 4 ситуациях — когда трудность не в правиле, а в самих вычислениях или в длине выражения.

• Ребёнок путает 7 × 8 и 6 × 9. Ошибки идут из таблицы умножения, и сначала стоит закрепить её.
• Нужны выражения в 4–5 действий. Здесь только два действия; длинные выражения решают письменно, с номерами над знаками.
• Ребёнок в 1 классе ещё не знает умножения. Для выражений только со сложением и вычитанием хватает правила «слева направо».
• Точность ниже 50% даже в режиме без таймера. Правило не понято: разберите 5–6 выражений на бумаге вслух.

Чего делать нельзя

Нельзя учить правило как пустую формулу без примеров — тогда оно рассыпается на первом длинном выражении. Шесть правил для взрослого.

• Нельзя запоминать «умножение, деление, сложение, вычитание» как строгую очередь. Внутри одной ступени действуют слева направо.
• Не стоит решать длинные выражения без нумерации. Номера над знаками убирают большую часть ошибок.
• Не следует переписывать выражение без скобок «для удобства». Скобки меняют ответ.
• Нельзя проверять ответ, решая тем же способом. Лучше прикидка или решение в другом порядке, где это допустимо.
• Не стоит давать сразу 5 действий. Начинайте с двух, затем трёх, и только после уверенного решения — длиннее.
• Не следует объяснять правило как «так принято». Свёрнутое сложение объясняет, почему умножение первое.

Источники

[1] Приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 372 «Об утверждении федеральной образовательной программы начального общего образования».

[2] Приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 370 «Об утверждении федеральной образовательной программы основного общего образования».

[3] Гальперин П. Я. Развитие исследований по формированию умственных действий // Психологическая наука в СССР. Т. 1. М., 1959.

[4] Rohrer D., Taylor K. The shuffling of mathematics problems improves learning // Instructional Science. 2007. Vol. 35, № 6. P. 481–498.

Вопросы и ответы

Что делать первым: умножение или деление?

То, что стоит левее. Умножение и деление — действия одной ступени, поэтому между ними решает порядок записи: 36 : 4 × 3 = 27, а 36 × 4 : 3 = 48. Это же касается сложения и вычитания.

Зачем ставить номера над знаками, если всё понятно?

В коротком выражении можно и мысленно. Но в выражении на 4–5 действий номера защищают от пропуска и от случайного сложения раньше умножения. Это занимает несколько секунд и экономит время на исправлениях.

Почему калькулятор в телефоне иногда даёт другой ответ?

Некоторые простые калькуляторы выполняют действие сразу после ввода знака, не дожидаясь конца выражения. Тогда 5 + 3 × 4 превращается в 8 × 4. Ответ по правилам — 17, а чтобы калькулятор не ошибся, надо вводить выражение по частям.

Как объяснить скобки первокласснику?

Как «сначала то, что в домике». В 1 классе хватает выражений вроде 10 − (3 + 2): сначала в скобках 5, затем 10 − 5. Главное — показать, что без скобок ответ другой: 10 − 3 + 2 = 9.

Меняется ли правило с дробями и отрицательными числами?

Нет, правило одно для любых чисел. Меняется только сама техника вычислений: работа со знаками, приведение дробей. Поэтому ошибки в 6 классе чаще связаны со знаками, чем со скобками.

Сколько тренироваться, чтобы ошибки ушли?

Обычно хватает 1–2 недель по 10 минут: серия «20 примеров» каждый день и разбор ошибок вслух. Когда точность стабильно выше 90%, переходите к режиму «60 секунд» и длинным выражениям на бумаге.