Простые и составные числа: как отличить и разложить на множители

Чем простое число отличается от составного

Простое число делится без остатка только на 1 и на себя, а составное — ещё хотя бы на одно число. Значит, составное число можно записать как произведение двух меньших множителей, а простое — нельзя.

Проверим на примерах. 15 = 3 × 5 — составное. 21 = 3 × 7 — составное. 23 нельзя представить произведением двух чисел меньше 23 — оно простое. Ребёнку удобно объяснять это через прямоугольники из клеточек — такая наглядная опора соответствует идее Гальперина о переходе от материального действия к умственному: 12 клеток можно сложить в прямоугольник 3 × 4 или 2 × 6, а 13 клеток — только в одну полоску 1 × 13. Простое число — то, которое «складывается только в полоску».

Два особых случая стоит запомнить сразу. Число 1 имеет только один делитель, поэтому оно не простое и не составное. Число 2 — единственное чётное простое число: любое другое чётное число делится на 2, а значит, у него минимум три делителя. Все остальные простые числа нечётные, но обратное неверно: 9, 15, 21, 91 нечётные и при этом составные. Подробнее о чётности — в материале о чётных и нечётных числах.

Простые и составные числа изучают в 5–6 классе в теме «Делимость» — так её место в программе задаёт ФОП основного общего образования^[1]. Но познакомиться с ними можно и раньше, хотя требовать знания темы до 5 класса не стоит: таблица умножения уже показывает, какие числа «получаются» умножением, а какие нет.

«Единица — самое первое простое число». Это миф, который часто повторяют даже взрослые: у простого числа ровно два делителя, а у единицы — один. Если бы 1 считалась простой, разложение чисел на простые множители перестало бы быть единственным.

Простые числа до 100: таблица

До 100 простых ровно 25 — по десяткам их от одного до четырёх. Остальные 74 числа от 2 до 100 составные, а 1 не входит ни в одну группу.

Заучивать таблицу наизусть не обязательно, но полезно помнить «ловушки» — составные числа, которые выглядят как простые: 51 = 3 × 17, 57 = 3 × 19, 87 = 3 × 29, 91 = 7 × 13. Первые три выдаёт признак делимости на 3 — сумма цифр 6, 12 и 15. А 91 приходится проверять делением на 7, и это самая частая ошибка: многие считают 91 простым.

Заметьте ещё одну закономерность: кроме 2 и 5, каждое простое оканчивается на 1, 3, 7 или 9. Числа на 0, 2, 4, 6, 8 делятся на 2, а на 5 — делятся на 5. Это не делает каждое число на 1, 3, 7, 9 простым, но сразу отсекает больше половины кандидатов.

Решето Эратосфена: как найти все простые числа до 100

Решето Эратосфена — это способ найти все простые до заданного числа, вычёркивая кратные: сначала кратные 2, затем 3, 5 и 7. Числа, которые остались невычеркнутыми, и есть простые.

1. Запишите числа от 2 до 100. Удобно таблицей 10 × 10, единицу сразу зачеркните.
2. Обведите 2 и вычеркните все кратные 2. 4, 6, 8 и далее — все чётные, кроме самой двойки.
3. Обведите 3 и вычеркните кратные 3. 9, 15, 21… — часть из них уже вычеркнута.
4. Повторите для 5 и 7. Первое новое вычёркивание для 7 — это 49 = 7 × 7.
5. Остановитесь. Следующее простое — 11, а 11 × 11 = 121 уже больше 100. Всё, что не вычеркнуто, — простое.

Почему достаточно дойти до 7 и не нужно проверять 11? Если составное число до 100 имеет делитель больше 10, то второй множитель меньше 10, и это число уже вычеркнуто раньше. Поэтому для решета до 100 хватает простых 2, 3, 5 и 7. Решето полезно сделать с ребёнком руками на листе: через 10–15 минут у него будет своя таблица, которую он понимает, а не заученная чужая. По Гальперину это и есть материальный этап: сначала вычёркивание руками, потом то же действие в уме.

Как проверить, простое ли число, в уме

Чтобы проверить число, его делят по очереди на простые 2, 3, 5, 7, 11, 13 и так далее, пока квадрат делителя не станет больше числа. Если ни одно деление не прошло нацело, число простое.

Возьмём 97. Оно нечётное, сумма цифр 16 — на 3 не делится, оканчивается не на 0 и не на 5, 97 : 7 даёт остаток 6. Следующий кандидат 11, но 11 × 11 = 121 больше 97 — проверять дальше не нужно, 97 простое. Для 221 так быстро не выйдет: на 2, 3, 5, 7 и 11 не делится, а вот 13 × 17 = 221, и число составное. Такие примеры хорошо показывают, что «на вид» простоту не определить.

Первые шаги проверки — это признаки делимости на 2, 3 и 5, которые работают по цифрам за секунды. Подробно они разобраны в статье о признаках делимости. Дальше в ход идёт таблица умножения: чтобы проверить деление на 7, нужно знать, что 7 × 13 = 91, а 7 × 14 = 98.

«Простые числа когда-нибудь заканчиваются, просто их очень трудно искать». Это миф: простых бесконечно много. Если перемножить любые известные простые и прибавить 1, получится число, которое не делится ни на одно из них, — значит, у него есть простой делитель, которого в списке не было.

Разложение на простые множители

Любое составное число можно разложить на простые множители, и такое разложение единственное с точностью до порядка: 360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5, и другого набора простых множителей у 360 нет.

В уме удобно раскладывать «деревом»: делим на самые маленькие простые, пока не останется простое. 84 → 2 × 42 → 2 × 2 × 21 → 2 × 2 × 3 × 7. Или крупными кусками, если знаем таблицу: 360 = 36 × 10 = (6 × 6) × (2 × 5) = 2 × 3 × 2 × 3 × 2 × 5. Порядок шагов не важен, ответ всегда один. Это хорошая самопроверка: если два разных пути дали разные наборы, где-то ошибка.

• 126. 2 × 63 = 2 × 7 × 9 = 2 × 3 × 3 × 7.
• 1 155. Оканчивается на 5: 5 × 231; сумма цифр 231 равна 6: 3 × 77 = 3 × 7 × 11. Итого 3 × 5 × 7 × 11.
• 210. 2 × 3 × 5 × 7 — произведение первых четырёх простых.
• 169. 13 × 13 — квадрат простого, у него ровно три делителя: 1, 13, 169.

Зачем это школьнику: НОД, НОК и дроби

По ФОП ООО разложение на множители нужно в 5–6 классе для трёх задач: найти наибольший общий делитель (НОД), наименьшее общее кратное (НОК) и сократить дробь до несократимой.

НОД(84, 126): 84 = 2 × 2 × 3 × 7, 126 = 2 × 3 × 3 × 7. Общие множители 2, 3 и 7, их произведение 42. Значит, дробь 84/126 сокращается на 42 и равна 2/3. НОК(12, 18): берём каждый множитель в наибольшей степени — 2 × 2 × 3 × 3 = 36. НОК нужен, чтобы привести дроби к общему знаменателю: 5/12 + 7/18 = 15/36 + 14/36 = 29/36. Подробнее о действиях с долями — в статье о дробях в уме.

Перемешанная практика полезнее однотипной: в исследовании Rohrer и Taylor задачи разных типов вперемешку дали лучший итог, чем блоки одинаковых^[2]. Поэтому после знакомства с темой давайте вперемешку вопросы «простое или нет?», «разложи на множители» и «найди НОД», а не по 20 одинаковых.

Когда эта тема не нужна

Есть ситуации, когда разговор о делителях рано или бесполезен.

• Ребёнок в 1–2 классе. Без таблицы умножения понятие делителя не на что опереть.
• Таблица умножения знается с ошибками. Если ошибок больше 2 из 10, разложение превратится в угадывание.
• Числа больше 1 000 в уме. Проверку таких чисел разумно делать письменно, а в уме ограничиться числами до 200.
• Цель — только скорость счёта. За 5 минут разминки делители почти не используются, их место — уроки 5–6 класса.

Чего делать нельзя

Нельзя давать список из 25 чисел для зубрёжки без решета и проверки делением. Вот что ещё мешает понять тему.

• Нельзя называть 1 простым числом. У неё один делитель, а не два.
• Не следует считать все нечётные числа простыми. 9, 15, 21, 91 — составные.
• Не стоит проверять делители дальше корня из числа. Для 97 достаточно дойти до 7.
• Нельзя обрывать разложение на составном множителе. 84 = 4 × 21 — ещё не ответ, 4 и 21 нужно разложить дальше.
• Не стоит пропускать решето ради готовой таблицы. Самостоятельно найденные числа запоминаются лучше.

Самопроверка закрепляет лучше перечитывания: так показало исследование Roediger и Karpicke^[3]. Исследование касалось запоминания, но принцип «сначала сам» полезен и в арифметике. Пусть ребёнок сам проверит свой список, перемножив множители, вместо того чтобы сверять его с готовым.

Источники

[1] Приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 370 «Об утверждении федеральной образовательной программы основного общего образования».

[2] Rohrer D., Taylor K. The shuffling of mathematics problems improves learning // Instructional Science. 2007. Vol. 35, № 6. P. 481–498.

[3] Roediger H. L., Karpicke J. D. Test-enhanced learning: Taking memory tests improves long-term retention // Psychological Science. 2006. Vol. 17, № 3. P. 249–255.

Вопросы и ответы

Почему 2 — единственное чётное среди простых?

Любое другое чётное число делится на 1, на 2 и на себя — это уже три делителя. А у двойки 2 и «само число» совпадают, поэтому делителей ровно два. Отсюда и все остальные простые нечётные.

Как быстро понять, что 91 не простое?

Запомнить как «ловушку»: 91 = 7 × 13. Признаки на 2, 3 и 5 его не выдают, поэтому многие ошибаются. Хорошее правило: прежде чем назвать двузначное число простым, проверьте деление на 7.

Сколько простых между 100 и 200?

Их 21. Найти их можно тем же решетом, только вычёркивать придётся кратные 2, 3, 5, 7, 11 и 13, потому что 13 × 13 = 169 меньше 200. Это хорошее задание для любознательного шестиклассника на одно занятие, хотя по программе оно не обязательно.

Зачем раскладывать на множители, если есть калькулятор?

Калькулятор не покажет, на что сократить дробь и какой знаменатель общий. По ФОП ООО делимость и дроби входят в программу 5–6 класса и дальше используются постоянно. А на ОГЭ по математике калькулятором пользоваться нельзя, так что разложение в уме экономит время и на экзамене.

Число 0 простое или составное?

Ни то ни другое. Деление на простые и составные вводится только для натуральных чисел больше 1. Ноль делится на любое натуральное число, поэтому делителей у него бесконечно много, и в эту классификацию он не входит.

Как связаны простые числа и таблица умножения?

В таблице 10 × 10 нет ни одного простого больше 7 — там только произведения. Если ребёнок ищет число 37 в таблице и не находит его как произведение двух множителей больше 1, это и есть первая интуиция простоты.