Свойства действий: переместительное, сочетательное и другие

Переместительное свойство

Переместительное свойство — это правило «от перестановки мест слагаемых или множителей результат не меняется»: a + b = b + a и a × b = b × a. Оно верно только для сложения и умножения.

В устном счёте свойства действий начинаются именно с этого правила, и оно сразу экономит силы. Пример 3 + 48 удобнее решить как 48 + 3: прибавлять маленькое число к большому легче. В таблице умножения оно сокращает работу почти вдвое: если ребёнок знает 3 × 7 = 21, он знает и 7 × 3. Для множителей от 2 до 9 в таблице 64 клетки, но разных пар только 36.

Наглядно свойство видно на прямоугольнике из точек: 3 ряда по 7 точек и 7 рядов по 3 точки — один и тот же прямоугольник, просто повёрнутый. Такой рисунок убеждает лучше любой формулировки, потому что ребёнок сам видит, что точек не стало ни больше, ни меньше.

«Переместительное свойство работает для всех действий». Это миф: 7 − 3 = 4, а 3 − 7 = −4; 12 : 4 = 3, а 4 : 12 — это одна третья. Переставлять числа можно только в сумме и в произведении.

Сочетательное свойство

Сочетательное свойство — это правило группировки: соседние слагаемые или множители можно объединить в любом порядке, (a + b) + c = a + (b + c) и (a × b) × c = a × (b × c).

Вместе с переместительным оно даёт главный приём счёта — искать удобные пары. Первое слагаемое при этом можно оставить на потом, если два следующих дают круглое число. В сумме 17 + 25 + 75 сначала складывают 25 + 75 = 100, затем 17 + 100 = 117. В произведении 25 × 7 × 4 сначала 25 × 4 = 100, затем 100 × 7 = 700. В 5 × 13 × 2 удобная пара — 5 × 2 = 10, и ответ 130 виден сразу.

Пары, которые стоит узнавать с первого взгляда: в сложении — слагаемые, дающие 10, 100 или 1000 (64 + 36, 250 + 750); в умножении — 2 × 5, 4 × 25, 8 × 125. Когда такие пары узнаются автоматически, длинные цепочки чисел перестают пугать.

Распределительное свойство

Распределительное свойство связывает умножение со сложением: a × (b + c) = a × b + a × c. То же верно и для разности: a × (b − c) = a × b − a × c.

На этом свойстве держится почти всё умножение в уме. Число раскладывают на удобные части, умножают каждую и складывают результаты: 7 × 23 = 7 × 20 + 7 × 3 = 140 + 21 = 161. Через разность удобно умножать на числа, близкие к круглым: 8 × 98 = 8 × 100 − 8 × 2 = 800 − 16 = 784.

Похожее правило есть и для деления суммы на число: каждое слагаемое делят отдельно и складывают частные. 92 : 4 = (80 + 12) : 4 = 20 + 3 = 23. Так решают внетабличное деление в 3 классе; подробный разбор есть в статье про внетабличное умножение и деление.

Свойства действий в одной таблице

Свойства действий удобно держать перед глазами в 1 таблице: формула, пример и приём, который на нём построен. Для сложения работают первые два, для умножения — все три.

Свойство	Формула	Пример	Приём устного счёта
Переместительное	a + b = b + a, a × b = b × a	3 + 48 = 48 + 3	Прибавлять меньшее к большему, учить половину таблицы
Сочетательное	(a + b) + c = a + (b + c)	17 + 25 + 75 = 17 + 100	Искать пары до круглого числа
Сочетательное	(a × b) × c = a × (b × c)	25 × 7 × 4 = 100 × 7	Пары 2 × 5, 4 × 25, 8 × 125
Распределительное	a × (b + c) = ab + ac	7 × 23 = 140 + 21	Умножение по разрядам
Распределительное	a × (b − c) = ab − ac	8 × 98 = 800 − 16	Умножение через круглое число

Свойства действий в этой таблице касаются только сложения и умножения. Вычитания и деления в ней нет: для них переместительное и сочетательное свойства не выполняются. Зато у вычитания есть свои удобные правила, о них ниже.

Как свойства дают приёмы устного счёта

Почти каждый приём быстрого счёта — это 1 из трёх свойств, применённое к удобному числу. Если понять, на чём держится приём, его не нужно заучивать.

Умножение на 5. 5 = 10 : 2, поэтому 48 × 5 = 480 : 2 = 240. Работает сочетательность умножения и деления.
Умножение на 11. 11 = 10 + 1, поэтому 34 × 11 = 340 + 34 = 374. Это распределительное свойство.
Умножение на 9 и 99. 99 × 7 = 700 − 7 = 693 — распределительность для разности.
Умножение на 25. 25 = 100 : 4, поэтому 36 × 25 = 36 : 4 × 100 = 900.

Приём на 11 подробно разобран в статье про умножение на 11 в уме, а остальные, с интерактивной проверкой, собраны в подборке приёмов счёта с примерами. Ребёнок, который понимает свойства действий, может сам вывести новый приём: например, 15 = 10 + 5, значит, 15 × 8 = 80 + 40 = 120.

Вычитание и деление: свои правила

Вычитание и деление не подчиняются переместительному и сочетательному свойствам: (20 − 8) − 2 = 10, а 20 − (8 − 2) = 14. Скобки здесь меняют ответ, и группировать «как удобно» нельзя.

Но у вычитания есть своё полезное правило: вычесть сумму — то же, что вычесть каждое слагаемое по очереди. 50 − (20 + 7) = 50 − 20 − 7 = 23. На нём держится вычитание по частям, когда вычитаемое раскладывают и каждое слагаемое отнимают отдельно: 84 − 37 = 84 − 30 − 7 = 47. С делением так же: (48 : 4) : 2 = 6, а 48 : (4 : 2) = 24, поэтому делить «через скобку» без расчёта нельзя.

Когда в выражении есть скобки и действия разных ступеней, сначала решают, что выполнять первым; правила собраны в статье про порядок действий в примерах.

Свойства в школьной программе

Свойства нужны уже во 2 классе, когда по ФОП начального общего образования изучают табличное умножение и деление^[1]: переместительность сокращает таблицу почти вдвое. В 3 классе по той же программе на распределительном свойстве строится внетабличное умножение — 23 × 4 = 80 + 12. ФОП не требует от младшего школьника буквенных формулировок, поэтому формулы вида a × (b + c) в начальной школе — дополнение, а не обязательный результат.

В 5–6 классе те же свойства переносят на дроби и отрицательные числа, а в 7 классе по ФОП основного общего образования появляются формулы сокращённого умножения^[2]. Формула (a + b)² = a² + 2ab + b² — это распределительное свойство, применённое дважды: (a + b)(a + b) = a² + ab + ba + b². Поэтому ребёнок, который в 3 классе понял, почему 7 × 23 = 140 + 21, в 7 классе видит в формуле знакомую картинку.

Объяснять свойства стоит от предметов к словам. По Гальперину, умственное действие формируется поэтапно: сначала с материальной опорой, потом в громкой речи, потом про себя^[3]. Для свойств это значит: материальная опора по Гальперину — прямоугольник из точек, затем проговаривание «семь раз по двадцать и семь раз по три», и только потом счёт в уме.

Когда свойство не поможет

Свойство не поможет в 4 ситуациях — когда не хватает базовых фактов или числа не дают удобных пар.

Ребёнок не знает таблицу на 7. Разложение 7 × 23 на 7 × 20 и 7 × 3 не спасёт, если 7 × 3 приходится высчитывать.
Числа без удобных пар, например 37 × 43. Здесь проще умножить по разрядам письменно или в два шага, чем искать красивую группировку.
Ребёнок в 1 классе. Формулировки с буквами ему ещё рано; хватает наблюдения, что 2 + 5 и 5 + 2 одно и то же.
Выражение с вычитанием и делением из 3–4 действий. Переставлять числа там нельзя, и попытка «упростить» даёт ошибку.

«Если знать свойства, таблицу умножения можно не учить». Это миф: свойства только переставляют и раскладывают числа, а сами произведения вроде 7 × 3 всё равно нужно помнить. Свойства ускоряют счёт на прочной основе, но не заменяют её.

Чего делать нельзя

Нельзя заучивать формулировки без примеров — тогда правило остаётся набором слов и не превращается в приём. Шесть правил для взрослого.

Нельзя переставлять числа в вычитании и делении. 20 − 8 и 8 − 20 дают разные ответы.
Не стоит начинать с буквенных формул. Сначала точки, палочки и числа, буквы — после того, как правило понято.
Не следует требовать название свойства вместо применения. Важнее, чтобы ребёнок нашёл пару 25 × 4, чем назвал правило.
Нельзя забывать второе слагаемое при раскладывании. В 7 × 23 умножить нужно и 20, и 3.
Не стоит давать приём без объяснения, откуда он. Понятый приём ребёнок перенесёт на новые числа.
Не следует подменять свойствами таблицу умножения. Приёмы работают только на выученных фактах.

Источники

[1] Приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 372 «Об утверждении федеральной образовательной программы начального общего образования».

[2] Приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 370 «Об утверждении федеральной образовательной программы основного общего образования».

[3] Гальперин П. Я. Развитие исследований по формированию умственных действий // Психологическая наука в СССР. Т. 1. М., 1959.

Вопросы и ответы

Зачем учить названия свойств действий, если и так понятно?

Названия нужны, чтобы говорить о приёмах одним языком с учителем и учебником. Но порядок важен: сначала ребёнок пользуется правилом на числах, а слово запоминает потом, как ярлык для уже знакомой вещи.

Как запомнить, какое свойство какое?

По смыслу слов. Переместительное — числа меняются местами. Сочетательное — числа объединяются в группы. Распределительное — множитель распределяется на каждое слагаемое в скобках, как подарки на всех гостей.

Есть ли переместительное свойство у деления?

Нет. 12 : 3 = 4, а 3 : 12 — это одна четвёртая. То же с вычитанием. Поэтому в выражениях с вычитанием и делением числа не переставляют, а работают строго по порядку записи.

Почему 0 и 1 называют особыми?

Прибавление нуля и умножение на единицу не меняют число: 37 + 0 = 37, 37 × 1 = 37. А умножение на ноль всегда даёт ноль. Эти правила нужны уже при изучении табличного умножения, которое по ФОП приходится на 2 класс.

Как применить свойства к сложению длинного ряда чисел?

Сначала найти пары до круглого числа, затем сложить остаток. В 26 + 58 + 74 + 42 пары 26 + 74 = 100 и 58 + 42 = 100, сумма 200. Без перестановки пришлось бы держать в уме три промежуточных результата.

С какого класса объяснять распределительное свойство?

Наглядно — со 2–3 класса, когда появляется умножение двузначного числа на однозначное: 23 × 4 как 20 × 4 и 3 × 4. Буквенную запись и название вводят позже, когда приём уже освоен на числах, — так советует и поэтапная схема Гальперина.