Словарь ментальной арифметики: соробан, формулы, анзан и обучение

Как пользоваться словарём терминов ментальной арифметики

Словарь нужен родителю, чтобы понимать, о чём говорит педагог и что написано в описании программы, — термины здесь сгруппированы по темам, а внутри группы идут от простых к сложным.

Многие термины ментальной арифметики пришли в русский язык из практики школ соробана и звучат непривычно: «брат», «друг», «анзан». За каждым из них стоит простое действие, и как только оно понятно, термин перестаёт пугать. В этом словаре у каждого термина одно короткое определение и, где возможно, числовой пример. Единого справочника этих слов нет, поэтому в разных школах одно и то же действие могут называть чуть по-разному.

Ребёнку весь словарь учить не нужно. Ему достаточно пяти-шести слов, которые он использует на занятии: спица, косточка, перекладина, «брат», «друг». Заучивать остальные не стоит: эти термины — для взрослого, который хочет разобраться в методике или сравнить программы. Если хотите сначала понять общую картину, начните с обзора о ментальной арифметике и её возможностях, а сюда возвращайтесь за конкретными словами.

Счётные инструменты: соробан, суаньпань и счёты

Первый термин словаря — абакус: это общее название счётной доски с косточками на спицах; в ментальной арифметике используют японский соробан со схемой 1 + 4, а китайский суаньпань и русские счёты устроены иначе.

• Абакус. Общее название счётной доски с косточками. В разговоре о ментальной арифметике под абакусом почти всегда понимают соробан.
• Соробан. Абакус со схемой 1 + 4: на каждой спице одна верхняя косточка и четыре нижние. На нём учат формулы, а затем его образ используют для счёта в уме.
• Суаньпань. Китайский абакус со схемой 2 + 5: две верхние и пять нижних косточек на спице.
• Русские счёты. Счётная доска с 10 косточками на горизонтальной проволоке; разряд меняется после десяти косточек.
• Онлайн-абакус. Изображение соробана на экране, на котором косточки двигают мышью или пальцем. На нашем сайте это онлайн-соробан на 7 спиц с режимами «Свободно», «Набери число» и «Пример».

Устройство соробана: спица, косточка, перекладина

Соробан состоит из рамки, вертикальных спиц, перекладины и косточек; каждая спица — это один разряд числа, а значение имеют только косточки, придвинутые к перекладине.

• Рамка. Внешний прямоугольник, который держит спицы и перекладину.
• Спица. Стержень, на который нанизаны косточки. Одна спица — один разряд: единицы, десятки, сотни и так далее.
• Перекладина. Планка, которая делит спицы на верхнюю и нижнюю части. Считаются только косточки, придвинутые к ней.
• Верхняя косточка. Одна косточка над перекладиной, она означает 5 единиц своего разряда.
• Нижние косточки. Четыре косточки под перекладиной, каждая — 1 единица разряда.
• Точка-разделитель. Метка на перекладине через каждые 3 спицы. Помогает найти разряд единиц и отделять классы, как пробелы в записи 12 345 678.
• Разряд. Место цифры в числе. На соробане разряд — это спица, а старшие разряды находятся слева.
• Ноль на спице. Состояние, когда ни одна косточка не придвинута к перекладине. Пустая спица внутри числа означает ноль в этом разряде: 405 — это 4, пусто, 5.

Термины этой группы описывают только устройство, без действий. Цифра на спице получается сложением: верхняя косточка у перекладины и две нижние — это 5 + 2 = 7. Максимум на одной спице — 9: верхняя и все четыре нижние. Именно поэтому для числа 10 нужна соседняя спица слева — и отсюда вырастают термины следующей группы, формулы.

Действия на абакусе: формулы «просто», «брат» и «друг»

Формула — это термин для правила, по которому прибавляют или отнимают число на спице, когда нужных косточек не хватает: «брат» заменяет действие через 5, «друг» — через 10.

• Набор числа. Установка числа на абакусе: косточки каждого разряда придвигают к перекладине слева направо, от старшего разряда к младшему.
• Сброс. Возврат всех косточек от перекладины, после него абакус показывает 0.
• Формула «просто». Прибавление или вычитание, при котором нужные косточки свободны: 2 + 2 — просто придвинуть две нижние.
• Формула «брат». Действие через 5, когда нижних косточек не хватает: +4 = +5 − 1, +3 = +5 − 2 и так до +1 = +5 − 4; при вычитании −4 = −5 + 1. «Братья» — пары чисел, дающие 5: 1 и 4, 2 и 3. Подробно о них — в статье о формулах «брат».
• Формула «друг». Действие через 10, когда на спице не хватает места: +9 = +10 − 1, +8 = +10 − 2 и так до +1 = +10 − 9; при вычитании −9 = −10 + 1. «Друзья» — пары чисел, дающие 10: 1 и 9, 2 и 8 и так далее.
• Формула «брат + друг». Комбинация обеих формул. Например, 5 + 6: по «другу» +6 = +10 − 4, а отнять 4 от пятёрки можно только по «брату»: −4 = −5 + 1.
• Перенос. Добавление единицы на соседнюю спицу слева, когда в разряде получается 10 или больше; на абакусе это часть формулы «друг».
• Заём. Снятие единицы с соседней спицы слева при вычитании, когда в разряде не хватает косточек.
• Постановка пальцев. Правило, какой палец двигает какие косточки: большой поднимает нижние, указательный опускает нижние и двигает верхнюю. Подробно — в материале о постановке пальцев на соробане.

Счёт в уме: мысленный абакус, анзан, флеш-анзан

Мысленный абакус — это термин для образа соробана, который ребёнок представляет и «двигает» в уме; на нём держится анзан, то есть счёт без инструмента.

• Ментальная арифметика. Система обучения счёту, в которой ребёнок сначала считает на соробане, а затем — на его мысленном образе.
• Мысленный абакус. Зрительный образ соробана в уме. По исследованию Frank и Barner, он хранит число как картинку, и ёмкость такого образа ограничена.
• Анзан. Счёт в уме с опорой на мысленный абакус, без реального инструмента.
• Флеш-анзан. Упражнение, в котором числа быстро появляются на экране одно за другим, а ребёнок складывает их в уме. Настраивают разрядность, количество чисел и интервал. Попробовать можно на странице тренажёра флеш-анзан.
• Слуховой счёт. Анзан на слух: числа диктуют голосом, а ребёнок складывает их в уме.
• Интервал. Время показа одного числа во флеш-анзане, обычно от долей секунды до 2 секунд.
• Разрядность. Количество цифр в числах упражнения: однозначные, двузначные, трёхзначные.
• Ряд. Серия чисел, которую нужно сложить или сложить и вычесть за один подход, например 7, 3, 5, 8.

Исследование Hatano с соавторами показало, что опытные абакисты действительно считают в уме, опираясь на образ абакуса, и словесная помеха мешает им меньше, чем зрительно-двигательная^[1]. Это объясняет, почему во время анзана дети иногда шевелят пальцами: они «двигают» мысленные косточки. Поэтому термины «мысленный абакус» и «анзан» описывают реальный способ счёта, а не красивую метафору.

«Ментальная арифметика синхронизирует работу полушарий мозга». Это миф: в исследовании Hanakawa с соавторами у экспертов при счёте в уме сильнее вовлекались зрительно-пространственные области, но никакой «синхронизации полушарий» не описано^[2].

Обучение и психология: слова из описаний программ

Эти понятия встречаются в описаниях методик и в статьях о пользе занятий; важно понимать, что каждое из них означает на самом деле и чего оно не обещает.

• Поэтапное формирование умственных действий. Теория Гальперина: действие осваивают от материального (на абакусе) через громкую речь и речь про себя к внутреннему плану^[3].
• Зона ближайшего развития. По Выготскому — задачи, которые ребёнок пока решает только с подсказкой взрослого.
• Распределённая практика. Занятия небольшими порциями в разные дни вместо одного длинного; по обзору Cepeda и соавторов, она даёт лучшее долговременное запоминание.
• Самопроверка. Извлечение ответа из памяти без подсказки, например решение примера до просмотра ответа.
• Перенос навыка. Улучшение в задачах, которые не тренировали. Ближний перенос — на похожие задачи, дальний — на другие способности.
• Рабочая память. Способность несколько секунд удерживать и обрабатывать информацию во время решения, например держать в голове промежуточную сумму.
• Точность. Доля верных ответов в серии, например 18 из 20 — это 90%.
• Темп. Время на один пример; растёт только после того, как держится высокая точность.
• Уровень. Этап программы: «просто», «брат», «друг», комбинированные формулы, двузначные числа и дальше.
• Состав числа. Знание, из каких двух чисел складывается число до 10: 7 = 5 + 2 = 4 + 3. Без него формулы «брат» и «друг» не запоминаются.

«Флеш-анзан развивает память и внимание в целом». Это не подтверждается: в рандомизированном исследовании Barner и соавторов занятия мысленным абакусом улучшили вычисления, но переноса на рабочую память и общие способности не нашли^[4].

Когда словарь не поможет

Знание терминов не заменяет практики и не нужно в некоторых ситуациях.

• Ребёнку 4–5 лет. Ему достаточно слов «верхняя косточка — пять, нижняя — один», остальное запутает.
• Первые 2–3 недели занятий. Названия формул приходят вместе с самими действиями, заучивать их заранее не нужно.
• Выбор программы по 1 описанию. Красивые слова в описании ничего не говорят о качестве — смотрите на пробное занятие.
• Обещания из 3 слов: «память, внимание, интеллект». Термины здесь не помогут, нужны данные исследований, а они такого переноса не подтверждают.

Чего делать нельзя

Нельзя превращать словарь в экзамен для ребёнка. Вот ещё несколько правил.

• Нельзя требовать от ребёнка определений. Важно, чтобы он умел выполнить «брата», а не пересказать правило.
• Не следует путать «брата» и «друга». «Брат» — через 5, «друг» — через 10; на этом держатся все формулы.
• Не стоит верить словам «развивает полушария». Такой формулировки исследования не подтверждают.
• Нельзя считать анзан обязательным с первых занятий. Сначала реальный абакус, потом мысленный.
• Не стоит заменять школьную запись решения формулами. Учитель оценивает решение по правилам школьной математики.

Источники

[1] Hatano G., Miyake Y., Binks M. G. Performance of expert abacus operators // Cognition. 1977. Vol. 5, № 1. P. 47–55.

[2] Hanakawa T., Honda M., Okada T. et al. Neural correlates underlying mental calculation in abacus experts: a functional magnetic resonance imaging study // NeuroImage. 2003. Vol. 19, № 2. P. 296–307.

[3] Гальперин П. Я. Развитие исследований по формированию умственных действий // Психологическая наука в СССР. Т. 1. М., 1959.

[4] Barner D., Alvarez G., Sullivan J. et al. Learning mathematics in a visuospatial format: A randomized, controlled trial of mental abacus instruction // Child Development. 2016. Vol. 87, № 4. P. 1146–1158.

Вопросы и ответы

Нужно ли ребёнку знать термины ментальной арифметики?

Только самые рабочие: спица, косточка, перекладина, «брат», «друг». Они нужны, чтобы понимать педагога. Определения наизусть не нужны — важно, чтобы ребёнок умел выполнить действие на абакусе.

Чем абакус отличается от соробана?

Абакус — общее название счётной доски, а соробан — конкретная японская разновидность со схемой 1 + 4. В ментальной арифметике используют именно соробан, поэтому слова часто употребляют как синонимы.

Почему формулы называют «брат» и «друг»?

Это условные названия для пар чисел. «Братья» в сумме дают 5 (например, 1 и 4), «друзья» — 10 (например, 3 и 7). Названия помогают ребёнку запомнить, какое число прибавить и какое отнять.

Анзан и флеш-анзан — одно и то же?

Нет, и путать их не стоит. Анзан — любой счёт в уме с опорой на мысленный абакус. Флеш-анзан — конкретное упражнение для анзана, где числа быстро сменяются на экране. Бывает и слуховой вариант, когда числа диктуют.

Что значит «счёт у перекладины»?

Значение имеют только косточки, придвинутые к перекладине. Косточки у рамки не считаются, даже если их много. Поэтому набрать 3 — значит поднять к перекладине три нижние косточки одной спицы.

Зачем точки на перекладине соробана?

Они стоят через каждые 3 спицы и помогают быстро найти разряд единиц, а также отделять тысячи и миллионы. Обычно единицы ставят на спицу с точкой, чтобы не сбиться при наборе длинного числа.