Как делить на соробане: делимое, делитель и цифра частного

Как устроено деление на абакусе

На соробане деление выполняют через вычитание: частное собирают по одной цифре, а из делимого каждый раз убирают произведение этой цифры на делитель. Когда делимое обнулилось или стало меньше делителя, деление закончено.

Это тот же алгоритм, что и школьное деление уголком, только без записи промежуточных строк. В тетради ребёнок пишет «−12» под делимым и подводит черту. На абакусе он просто убирает 12 десятков с тех спиц, где лежит делимое, и сразу видит остаток. Промежуточные числа не нужно переписывать, поэтому меньше шансов ошибиться при списывании.

Зато требований к ребёнку больше, чем при умножении. Чтобы делить на соробане, нужно уметь три вещи: прикинуть, сколько раз делитель помещается в число, быстро умножить цифру на делитель и без ошибок вычесть результат с формулами «брат» и «друг». Если хотя бы один навык шаткий, деление разваливается. ФГОС начального общего образования описывает умение делить как предметный результат, но не предписывает инструмент, так что соробан — лишь один из путей к нему.

Поэтому деление на абакусе обычно изучают последним: после сложения, вычитания и умножения. Оно собирает в себе всё, что ребёнок освоил раньше, и хорошо показывает, какие навыки устоялись, а какие нет.

Что нужно уметь до начала

Не стоит начинать деление на абакусе раньше, чем ребёнок уверенно знает табличное деление и умножает двузначное на однозначное на соробане. Без этих двух навыков подбор цифры частного превращается в угадывание.

По федеральной программе начального образования табличное деление изучают во 2 классе, деление с остатком и деление на однозначное число — в 3 классе, письменное деление на двузначное — в 4 классе^[1]. Отсюда разумный порядок: делитель-однозначное число — в 3 классе, делитель-двузначное — не раньше, чем школа дойдёт до этой темы. Нормативов скорости деления ни ФОП, ни ФГОС не задают, поэтому ориентир один — точность.

Где лежат делимое, делитель и частное

Раскладка при делении — это договорённость о местах: делитель набирают слева, делимое правее через одну-две пустые спицы, а цифры частного ставят между ними, перед делимым.

Для 84 : 4 четвёрку ставят на одну из левых спиц, 84 — ближе к правому краю, а под частное оставляют свободные спицы слева от восьмёрки. По мере работы делимое уменьшается и исчезает, а цифры частного выстраиваются слева направо. В конце на абакусе остаются только делитель и ответ, а если деление с остатком — то и остаток на месте делимого.

Точных правил, на какую именно спицу ставить частное, в разных методиках несколько, и единого стандарта не существует. Для начала достаточно простого правила: если первая цифра делимого не меньше делителя, цифру частного ставят через одну спицу левее; если меньше — на соседнюю спицу. Главное, чтобы выбранное правило не менялось от примера к примеру. Как устроены сами спицы и формулы сложения, описано в статье об онлайн-абакусе и формулах.

«На соробане делят без таблицы умножения». Это миф: подбор каждой цифры частного — это вопрос «сколько раз делитель помещается», и ответ на него берут из таблицы. Инструмент лишь помогает не потерять разряды при вычитании.

Подбор цифры частного: правило двух проверок

Цифру частного подбирают так, чтобы произведение на делитель было не больше текущей части делимого, а остаток — меньше делителя. Это и есть две проверки.

• Произведение больше части делимого. Цифра велика: вычесть не получится. Уменьшите её на 1.
• После вычитания остаток не меньше делителя. Цифра мала: делитель помещается ещё раз. Увеличьте её на 1 и вычтите делитель ещё раз.
• Обе проверки пройдены. Цифра верна, переходите к следующему разряду.

Возьмём 175 : 25. Ребёнок прикидывает по первым цифрам: 17 : 2 — около 8. Пробуем 8 × 25 = 200, а это больше 175. Цифра велика, берём 7: 7 × 25 = 175, остаток 0. Ответ 7. Обратная ситуация: в 84 : 4 ребёнок поставил 1 на десятках, вычел 40 и получил 44. Остаток 4 десятка не меньше делителя, значит, цифру надо увеличить до 2. На соробане это видно сразу: делимое не «сдулось» так, как должно было.

Прикидку для каждой цифры частного полезно проговаривать вслух: «семнадцать на два — примерно восемь». По теории поэтапного формирования действий П. Я. Гальперина речевой этап предшествует действию в уме^[2], и ребёнок, который молча угадывает, хуже переносит навык с инструмента в голову.

Примеры 84 : 4 и 156 : 6 по шагам

Чтобы увидеть весь цикл, удобно решить два примера: в первом каждая цифра делимого делится нацело, во втором приходится брать две цифры сразу.

1. 84 : 4, шаг 1. 8 десятков : 4 = 2. Это первая цифра частного. Вычитаем 2 × 4 = 8 десятков: на спицах делимого остаётся 4.
2. 84 : 4, шаг 2. 4 : 4 = 1. Ставим 1 в частное, вычитаем 4. Делимое обнулилось, ответ 21.
3. 156 : 6, шаг 1. 1 меньше 6, поэтому берём 15 десятков. 15 : 6 = 2, ведь 2 × 6 = 12, а 3 × 6 = 18 уже больше. Вычитаем 12 десятков: 156 − 120 = 36.
4. 156 : 6, шаг 2. 36 : 6 = 6. Вычитаем 36, остаток 0. Ответ 26.

Проверка умножением: 21 × 4 = 84 и 26 × 6 = 156. Оба ответа верны. Обратите внимание на шаг вычитания 156 − 120: на спице десятков 5 − 2 нельзя убрать напрямую, если пятёрка опущена, а нижних нет, — нужна формула через пятёрку (−5 +3), и получается 3. Поэтому такой счёт одновременно тренирует и вычитание.

Двузначный делитель: 372 : 12

С двузначным делителем цикл тот же, но произведение очередной цифры ответа на делитель вычитают в два приёма: сначала на десятки делителя, потом на единицы.

Ответ 31, и проверка подтверждает: 31 × 12 = 372. Если бы на шаге 1 ребёнок взял 4, то 4 × 12 = 48 десятков, а в делимом их только 37 — вычесть не выйдет, и цифру надо уменьшить. Двузначный делитель хорошо показывает, зачем нужна прикидка: без неё на подбор уходит по три-четыре попытки.

Вычитание в два приёма — главная трудность этого этапа. Ребёнок вычитает 3 сотни и забывает про 6 десятков, получая остаток 72 и цифру 6 на следующем шаге. Ответ выходит 36, и проверка умножением сразу показывает ошибку: 36 × 12 = 432, а не 372.

Деление с остатком и проверка

Если после последнего шага делимое не обнулилось, оставшееся число и есть остаток. Он всегда меньше делителя — это главная проверка.

Пример 97 : 4. Девять десятков на 4: цифра 2, вычитаем 80, остаётся 17. Семнадцать на 4: цифра 4, вычитаем 16, остаётся 1. Ответ 24, остаток 1. Проверка: 24 × 4 + 1 = 97. Деление с остатком по ФОП НОО входит в программу 3 класса, и соробан делает его очень наглядным: остаток буквально лежит на спицах, где было делимое.

Проверку умножением стоит делать после каждого примера первые две-три недели. Это не потеря времени: в исследовании Roediger и Karpicke извлечение из памяти закрепляло материал надёжнее, чем повторное чтение^[3], а самопроверка умножением — именно такое извлечение. Ребёнок вспоминает таблицу ещё раз и одновременно ловит свои ошибки.

«Если ребёнок делит на соробане, он легко разделит и в уме». Это не подтверждается: мысленный абакус хранит число как картинку с ограниченной ёмкостью^[4], а деление требует держать делитель, частное и остаток сразу. В уме делят небольшие числа, длинное деление остаётся на инструменте или в тетради.

Типичные ошибки

Ошибку при делении почти всегда можно найти проверкой умножением. Таблица ниже помогает понять, что именно пошло не так.

Первая строка проверяется так: 23 × 4 + 5 = 97 — равенство верное, но остаток 5 больше делителя 4, значит, четвёрка помещается ещё раз. Такая ошибка не арифметическая, а логическая, и её полезно разбирать отдельно. Когда ошибки разобраны, смешивайте деление с умножением в одном подходе: в исследовании Rohrer и Taylor смешанные задачи дали лучший итог, чем однотипные блоки. Для отработки деления без инструмента пригодятся приёмы из статьи о делении в уме.

Когда деление на абакусе не нужно

Этот этап не всем подходит, и в некоторых случаях лучше обойтись без него.

• Ребёнок ошибается в табличном делении 2 раза из 10 и чаще. Сначала таблица, иначе каждая цифра частного будет угадываться.
• Умножение на соробане ещё даёт ошибки места. Если 23 × 4 иногда выходит 812, деление только запутает.
• Школьнику 5 класса нужно делить дроби и десятичные числа. Здесь полезнее школьный алгоритм и приёмы быстрого счёта.
• Ребёнку меньше 8 лет. Цикл из трёх операций утомляет; лучше закрепить сложение и вычитание.

Чего делать нельзя

Нельзя начинать с двузначного делителя: подбор цифры там сложнее, и неудачи быстро отбивают интерес. Шесть ограничений для занятий дома.

• Нельзя пропускать прикидку. Подбор без неё превращается в перебор.
• Не следует подсказывать очередную цифру ответа. Спросите: «Сколько раз 6 помещается в 15?»
• Не стоит отказываться от проверки умножением в первые недели.
• Нельзя менять раскладку от примера к примеру: место частного должно быть постоянным.
• Не допускается заменять соробаном деление уголком в школьных тетрадях: письменный алгоритм входит в программу 4 класса.
• Не стоит давать больше 8 примеров за подход: цикл длинный, и к концу растёт число ошибок.

Источники

[1] Приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 372 «Об утверждении федеральной образовательной программы начального общего образования».

[2] Гальперин П. Я. Развитие исследований по формированию умственных действий // Психологическая наука в СССР. Т. 1. М., 1959.

[3] Roediger H. L., Karpicke J. D. Test-enhanced learning: Taking memory tests improves long-term retention // Psychological Science. 2006. Vol. 17, № 3. P. 249–255.

[4] Frank M. C., Barner D. Representing exact number visually using mental abacus // Journal of Experimental Psychology: General. 2012. Vol. 141, № 1. P. 134–149.

[5] Rohrer D., Taylor K. The shuffling of mathematics problems improves learning // Instructional Science. 2007. Vol. 35, № 6. P. 481–498.

[6] Cepeda N. J., Pashler H., Vul E., Wixted J. T., Rohrer D. Distributed practice in verbal recall tasks: A review and quantitative synthesis // Psychological Bulletin. 2006. Vol. 132, № 3. P. 354–380.

Вопросы и ответы

Почему делят слева направо, а не с единиц?

Потому что каждая цифра ответа зависит от старших разрядов: сначала узнают, сколько десятков в ответе, потом единиц. Так же устроено школьное деление уголком. Начать с единиц невозможно — неизвестно, что останется от старших разрядов.

Нужно ли набирать делитель на спицах?

На первых неделях да, чтобы он был перед глазами. Позже многие держат однозначный делитель в голове и набирают только делимое и частное. Двузначный делитель удобнее оставлять на инструменте.

Сколько спиц нужно для деления?

Для примеров вроде 372 : 12 хватает 9–11 спиц: две под делитель, промежуток, две-три под частное и три под делимое. На 7 спицах такие примеры решать тесно, но возможно.

Как понять, что цифра в ответе подобрана верно?

Вычесть её произведение на делитель должно получиться, а остаток после вычитания должен быть меньше делителя. Если не выходит первое — цифра велика, если не выполнено второе — мала.

Ребёнок делит правильно, но очень долго. Что делать?

Обычно тормозит прикидка или таблица. Потренируйте отдельно вопросы «сколько раз 7 помещается в 50?» — по 5 минут несколько дней. Короткие подходы в разные дни, по обзору Cepeda с коллегами, закрепляют навык лучше одного длинного занятия.

Связано ли такое деление с умножением?

Напрямую: в каждом шаге очередную цифру ответа умножают на делитель. Поэтому деление учат после умножения, а его разбор есть в материале об умножении на соробане.