Формулы «брат + друг»: 20 случаев, где нужны пятёрка и десяток

Что такое комбинированные формулы и почему они трудные

Комбинированная формула — это «друг», внутри которого спрятан «брат». Сначала число заменяют действием с десятком, а потом оказывается, что вторую часть этого действия нельзя выполнить без пятёрки.

Посмотрим на 7 + 6 глазами ребёнка. Шесть на спице не помещается, значит, нужен «друг»: +6 = +10 −4. Десяток добавили слева, теперь надо отнять 4 от семёрки. Но у семёрки внизу только две косточки. Отнять четыре можно лишь через пятёрку: −4 = −5 +1. Получается цепочка из трёх движений: +10, −5, +1. На спице единиц остаётся 3, на спице десятков 1, ответ 13.

Трудность не в арифметике, а в том, что ребёнок должен удержать два решения подряд. Первое — «не помещается, нужен десяток». Второе — «не хватает нижних, нужна пятёрка». В ФОП НОО переход через десяток изучают в 1 классе, но правил абакуса программа не описывает, поэтому школа здесь не подскажет. Пока каждое из них требует паузы, комбинированный случай занимает 5–10 секунд и часто заканчивается ошибкой на 5. Когда оба решения стали автоматическими, цепочка выполняется за одно плавное движение руки.

Поэтому смешанные правила учат последними из формул сложения и вычитания. Ребёнок, который уверенно решает цепочки на «брата» и отдельно на «друга», осваивает комбинированные случаи за 2–3 недели. Тот, у кого одна из баз шаткая, может застрять на них на месяцы.

При каких цифрах на спице они возникают

Комбинированный случай при сложении возникает, если на спице стоит 5, 6, 7 или 8, а прибавляют 6, 7, 8 или 9 и сумма переходит через десяток. При вычитании — если на спице 1–4, а отнимают 6–9 с заёмом.

Удобно запомнить через положение пятёрки. При сложении пятёрка на спице уже опущена, и после переноса десятка нужно убрать её, вернув часть единиц. При вычитании пятёрка поднята, и после заёма десятка её нужно опустить, убрав лишние единицы. Если пятёрка в нужном положении не участвует, случай обычный: например, 9 + 6 решается чистым «другом», ведь у девятки внизу четыре косточки и отнять 4 можно напрямую.

Простая проверка для ребёнка: «Могу ли я убрать друга сразу?» Если да — обычный перенос. Если нет, потому что нижних косточек мало, — пятёрка придёт на помощь, и это смешанное правило. Такой вопрос ребёнок задаёт себе вслух первые недели, потом про себя. Это прямо соответствует этапам Гальперина: громкая речь, речь про себя, внутренний план^[1].

Все комбинированные формулы сложения

При сложении существует 10 комбинированных случаев. В каждом сначала добавляют десяток на соседней спице, затем убирают пятёрку и возвращают недостающие единицы.

Заметьте закономерность: на спице единиц после действия всегда остаётся от 1 до 4, а самый большой ответ — 14. Число случаев убывает от 4 к 1, как и в правилах через пятёрку, только в обратном порядке: чем больше прибавляем, тем меньше цифр требуют двойной помощи.

Все смешанные случаи вычитания

При вычитании тоже 10 случаев. Сначала занимают десяток у соседней спицы, затем опускают пятёрку и убирают лишние единицы.

Здесь ответ на спице всегда от 5 до 8, то есть пятёрка в конце опущена. Таблицы вычитания и сложения зеркальны: если 8 + 6 = 14 решается как +10 −5 +1, то 14 − 6 = 8 решается как −10 +5 −1. Покажите ребёнку обе строки рядом — симметрия запоминается лучше, чем 20 отдельных фактов.

«Комбинированных формул десятки, их надо учить по карточкам». Это миф: случаев ровно 20, и все они выводятся из двух уже знакомых правил. Отдельная карточка на каждый случай не нужна, если ребёнок знает пары до 5 и до 10.

Шесть примеров с разбором

Шесть примеров ниже идут от однозначных к трёхзначному ответу. В каждом указано, на какой спице и в каком порядке работают оба помощника.

1. 6 + 8 = 14. Восемь не помещается: +10 −2. Отнять 2 от шестёрки напрямую нельзя, внизу одна косточка, поэтому −5 +3. На единицах 1 + 3 = 4, на десятках 1.
2. 5 + 9 = 14. +10 −1, а единицу от чистой пятёрки отнимают как −5 +4. На единицах 4, на десятках 1.
3. 13 − 8 = 5. Тройке не хватает: −10 +2. Добавить 2 к тройке можно только через пятёрку: +5 −3. На единицах 5, десятки пусты.
4. 27 + 16 = 43. Десятки: 2 + 1 = 3, просто. Единицы: 7 + 6 — двойная помощь, на единицах 3, на десятках становится 4.
5. 54 − 37 = 17. Десятки: 5 − 3 через пятёрку, остаётся 2. Единицы: 4 − 7 — заём, десятки 2 → 1, к четвёрке добавляем 3 как +5 −2, получаем 7.
6. 85 + 69 = 154. Десятки: 8 + 6 — двойная помощь, на десятках 4, на сотнях 1. Единицы: 5 + 9 — снова двойная помощь, на единицах 4, десятки 4 → 5.

Последний пример стоит решить несколько раз. В нём смешанное правило встречается дважды подряд, и перенос с единиц попадает на спицу, которая только что изменилась. Если ребёнок решает 85 + 69 без пауз, значит, этап освоен. Сверять ответы удобно на онлайн-абакусе в режиме «Пример»: в подсказке у такого разряда так и написано — «брат + друг».

Порядок обучения по неделям

Обучение занимает около 3 недель: сначала сложение, потом вычитание, потом смешанные цепочки. Каждый этап начинается с одной спицы и только потом переходит к двузначным числам.

На третьей неделе важно, чтобы двойная помощь попадалась вперемешку с обычными переносами и «простыми» разрядами. В исследовании Rohrer и Taylor перемешанные задачи разных типов дали лучший результат на итоговой проверке, чем блоки однотипных^[2]. Ребёнок, который решал только смешанные случаи подряд, начинает применять их там, где хватает обычного переноса.

Задания стоит подбирать чуть выше текущего уровня, но не настолько, чтобы без подсказки ничего не получалось. Выготский называл это зоной ближайшего развития^[3]. На практике подсказка взрослого — не ответ, а вопрос: «Можешь убрать сразу? А если нет — кто поможет?»

Как отличить ошибку в двойной помощи

Если ответ ошибочен ровно на 5, сбой почти наверняка во внутренней части — пятёрке. Если на 10, потерян перенос или заём. По разнице легко понять, что повторять.

• 7 + 6 дало 17. Десяток добавлен, а на спице ничего не изменилось: ребёнок не понял, как отнять 4 от семёрки, и пропустил вторую часть.
• 7 + 6 дало 3. Пятёрку убрал и единицу добавил, а десяток слева забыл: ответ меньше на 10.
• 12 − 7 дало 0. Занял десяток и убрал две единицы, а пятёрку не опустил: ответ меньше на 5.
• 12 − 7 дало 15. Не занял десяток: на десятках осталась единица, ответ больше на 10.

Есть и коварный вариант: 7 + 6 дало 18. Ребёнок добавил десяток и единицу, но пятёрку не убрал: на спице 7 + 1 = 8, плюс десяток слева. Ответ больше на 5, значит, внутренняя часть выполнена наполовину. Разбирайте такие сбои медленно, движение за движением, вслух.

«Ребёнок, который освоил двойные правила, научился считать в уме». Это не подтверждается: правила на инструменте — только основа. Даже в рандомизированном исследовании Barner с коллегами обучение длилось 3 года^[5], и счёт в уме там строили отдельно. Он требует своего этапа, на котором движения переносят на мысленный образ счётов.

Когда этот этап не подходит

Смешанные правила не подходят ребёнку, у которого не закреплены их составные части. В четырёх случаях стоит вернуться на шаг назад.

• В цепочке из 5 чисел на «брата» больше 1 ошибки. Повторите правила через пятёрку ещё неделю.
• Пары до 10 называются с паузой дольше 2 секунд. Сначала устная игра «назови друга».
• Обычный перенос даёт ошибку на 10 хотя бы в 2 примерах из 10. Вернитесь к материалу о правилах через десяток.
• Ребёнку меньше 6 лет и занятие длится дольше 10 минут. Трёхшаговое движение утомляет, сократите подход.

Чего делать нельзя

Нельзя пытаться «проскочить» этот этап: именно здесь копятся ошибки, которые потом вылезают при счёте в уме. Семь правил помогут их избежать.

• Нельзя начинать двойные правила до уверенного «брата» и «друга». Каждое из них должно выполняться без паузы.
• Не следует давать 20 случаев за одно занятие. Первую неделю — только сложение, по 3–4 случая.
• Не стоит позволять пересчёт по одной косточке. Это скрывает непонимание и не тренирует движение.
• Нельзя ставить таймер на этом этапе. Темп придёт сам, когда исчезнут паузы между решениями.
• Не допускается называть ответ вместо подсказки. Спросите, хватает ли нижних косточек.
• Не стоит переходить к счёту без инструмента, пока пример 85 + 69 не решается на абакусе без ошибок.
• Не следует отказываться от проговаривания раньше, чем через 2 недели безошибочной работы: у Гальперина речевой этап всегда предшествует внутреннему плану.

Источники

[1] Гальперин П. Я. Развитие исследований по формированию умственных действий // Психологическая наука в СССР. Т. 1. М., 1959.

[2] Rohrer D., Taylor K. The shuffling of mathematics problems improves learning // Instructional Science. 2007. Vol. 35, № 6. P. 481–498.

[3] Выготский Л. С. Мышление и речь. М., 1934.

[4] Cepeda N. J., Pashler H., Vul E., Wixted J. T., Rohrer D. Distributed practice in verbal recall tasks: A review and quantitative synthesis // Psychological Bulletin. 2006. Vol. 132, № 3. P. 354–380.

[5] Barner D., Alvarez G., Sullivan J. et al. Learning mathematics in a visuospatial format: A randomized, controlled trial of mental abacus instruction // Child Development. 2016. Vol. 87, № 4. P. 1146–1158.

Вопросы и ответы

Почему 9 + 6 не считается смешанным случаем?

Потому что у девятки внизу четыре косточки, и после добавления десятка четыре единицы убираются напрямую. Пятёрка не участвует. Двойная помощь нужна, только когда нижних косточек меньше, чем надо убрать.

В каком порядке делать три движения?

Чаще всего сначала десяток на соседней спице, затем пятёрка и единицы на своей. Порядок можно выбрать и другой, но его нельзя менять от примера к примеру, иначе движение не закрепится.

Сколько занимает освоение?

Обычно около трёх недель по 10 минут 4–5 раз в неделю, если базовые правила уже уверенные. По обзору Cepeda с коллегами, короткие подходы в разные дни закрепляют лучше, чем одно длинное занятие^[4].

Ребёнок путает, где прибавлять пять, а где отнимать. Как помочь?

Положите рядом прямой и обратный пример: 8 + 6 и 14 − 6. Пусть ребёнок решит оба и скажет, чем отличаются движения. Обычно после 3–4 таких пар путаница проходит, потому что видна симметрия.

Встречаются ли такие случаи в многозначных числах чаще?

Да: в каждом разряде своя вероятность попасть на смешанное правило, поэтому в трёх- и четырёхзначных примерах они почти неизбежны. Именно поэтому без уверенной двойной помощи не стоит переходить к длинным числам.

Что изучают после этого этапа?

Счёт двузначными числами в цепочках, затем перенос движений на мысленный образ и скоростные серии. Как строится весь путь, описано в статье об уровнях программы ментальной арифметики.