Как умножать на соробане: частичные произведения по разрядам

Как устроено умножение на абакусе

Соробан не умеет умножать сам по себе — это инструмент сложения. Умножение на нём сводится к двум навыкам: знанию таблицы умножения и уверенному сложению с формулами «брат» и «друг».

Идея та же, что в школьном умножении столбиком, только порядок другой. В тетради начинают с единиц и идут влево. На абакусе удобнее начинать со старшего разряда множимого: так частичные произведения ложатся слева направо, и ребёнок прибавляет каждое следующее к уже набранному ответу. Счёт идёт в том же направлении, что и чтение числа.

Возьмём 23 × 4. Сначала 2 десятка × 4 = 8 десятков, набираем 80. Затем 3 × 4 = 12, прибавляем к 80. Получаем 92. Два факта из таблицы и одно сложение — вот и всё умножение на соробане. Чем длиннее числа, тем больше таких шагов, но каждый шаг устроен одинаково.

Поэтому умножение на абакусе не заменяет таблицу, а опирается на неё. Ребёнок, который считает 7 × 8 на пальцах, будет делать это и на спицах, только медленнее. Частичное произведение берут из памяти, а инструмент нужен, чтобы не потерять разряды и переносы. ФГОС начального общего образования описывает результат — умение умножать, — а не способ, поэтому соробан здесь только помощник, и заменять им школьный алгоритм не следует.

Когда начинать: что нужно знать заранее

Начинать стоит, когда выполнены 2 условия: таблица умножения выучена без пауз, а сложение на абакусе со всеми формулами, включая комбинированные, идёт без ошибок.

По федеральной программе начального образования табличное умножение изучают во 2 классе, умножение на однозначное число вне таблицы — в 3 классе, письменное умножение на двузначное — в 4 классе^[1]. Значит, разумное время для умножения на соробане — конец 2-го или 3 класс, когда таблица уже знакома. Нормативов скорости умножения ФОП не задаёт, так что спешить с этим этапом не нужно. Раньше браться можно, но тогда каждое частичное произведение превращается в отдельную задачу, и ребёнок устаёт до того, как дойдёт до ответа.

Вторая база — сложение. При умножении 47 × 6 ребёнку нужно прибавить 42 к 240, и на спице десятков встречается 4 + 4, то есть формула через пятёрку. В более длинных примерах встречаются и переносы через десяток, и двойные случаи. Если сложение идёт с ошибками, они размножатся в каждом шаге. Поэтому умножение на абакусе начинают только после того, как сложение стало автоматическим.

Раскладка чисел на спицах

Раскладка — это договорённость, где на соробане лежит множимое, где множитель и где собирается ответ. Самый наглядный для детей вариант: множитель слева, множимое в середине, ответ на правых спицах.

Например, для 47 × 6 множитель 6 набирают на одной из левых спиц, через одну-две пустые спицы набирают 47, а правая часть остаётся пустой под ответ. Пустые спицы между числами нужны, чтобы числа не слились. Точки на перекладине помогают держать границы: многие педагоги просят ставить единицы ответа на спицу с точкой.

В разных школах раскладка отличается: где-то множитель не набирают вовсе и держат в голове, где-то ответ собирают прямо на месте множимого. Единого стандарта не существует, и спорить о нём бессмысленно. Важно другое: выбранная раскладка должна быть одной и той же во всех примерах, иначе ребёнок каждый раз заново ищет, куда ставить цифры.

«На абакусе умножают без таблицы умножения». Это миф: каждое частичное произведение — табличный факт, и соробан его не подсказывает. Инструмент помогает только складывать и не терять разряды.

Правило места: куда ставить частичное произведение

Частичное произведение всегда записывают двумя цифрами, даже если оно однозначное: 2 × 4 = 08, 3 × 3 = 09. Так единицы произведения гарантированно попадают на правильную спицу.

Правило места простое: разряд единиц частичного произведения равен сумме разрядов перемножаемых цифр. Единицы на единицы дают единицы. Десятки на единицы — десятки. Десятки на десятки — сотни. Поэтому в 23 × 4 произведение 2 × 4 = 08 ставят так, чтобы восьмёрка легла на спицу десятков, а 3 × 4 = 12 — так, чтобы двойка легла на спицу единиц.

Двузначная запись особенно важна, когда произведение маленькое. Ребёнок, который ставит 2 × 4 как «8» без нуля впереди, нередко кладёт восьмёрку на спицу сотен и получает 812 вместо 92. Нулевой разряд впереди — это не формальность, а способ не сбиться с места.

Примеры 23 × 4 и 47 × 6 по шагам

Чтобы освоить порядок действий, удобно решить два примера подряд: первый без формул сложения, второй с формулой через пятёрку. Каждый шаг произносят вслух: по Гальперину громкая речь — обязательный этап перед действием в уме^[4].

1. 23 × 4, шаг 1. Берём старшую цифру множимого: 2 × 4 = 08. Восьмёрку ставим на спицу десятков ответа. На абакусе 80.
2. 23 × 4, шаг 2. 3 × 4 = 12. Единицу прибавляем к десяткам: 8 + 1 = 9, просто. Двойку ставим на единицы. Ответ 92.
3. 47 × 6, шаг 1. 4 × 6 = 24. Это десятки на единицы, значит, четвёрка ложится на десятки, двойка на сотни. На абакусе 240.
4. 47 × 6, шаг 2. 7 × 6 = 42. Четвёрку прибавляем к десяткам: 4 + 4 через пятёрку (+5 −1), получаем 8. Двойку ставим на единицы. Ответ 282.

Проверим арифметику обычным способом: 23 × 4 = 20 × 4 + 3 × 4 = 80 + 12 = 92, и 47 × 6 = 40 × 6 + 7 × 6 = 240 + 42 = 282. Оба совпадают. Эта проверка — тот же распределительный закон, который по ФОП изучают при внетабличном умножении в 3 классе.

Ещё один полезный пример — 68 × 7. Сначала 6 × 7 = 42: на абакусе 420. Затем 8 × 7 = 56: пятёрку прибавляем к двойке на спице десятков, получаем 7, шестёрку ставим на единицы. Ответ 476. А пример 305 × 3 учит не пропускать ноль: 3 × 3 = 09 на сотнях, 0 × 3 = 00 на десятках, 5 × 3 = 15 на единицах, ответ 915.

Двузначное на двузначное: 12 × 13

При умножении двузначного на двузначное частичных произведений 4: каждая цифра множимого на каждую цифру множителя. Их сумма и есть ответ.

Ответ 156, и проверка подтверждает его: 12 × 13 = 12 × 10 + 12 × 3 = 120 + 36 = 156. На шаге 3 двойку прибавляют к тройке на спице десятков, и там срабатывает формула через пятёрку: 3 + 2 = +5 −3. Так даже в маленьком примере ребёнок встречает знакомые правила сложения.

Для двузначных чисел особенно важен порядок шагов. Удобно брать цифры множимого слева направо и для каждой проходить все цифры множителя. Порядок должен быть одинаковым, иначе одно из четырёх произведений легко пропустить — а пропуск не виден, пока не проверишь ответ.

Как проверить ответ

Проверить ответ можно 3 способами: прикидкой, последней цифрой и пересчётом через круглое число. Хватает одного, но первые недели лучше использовать два.

• Прикидка. 47 × 6 близко к 50 × 6 = 300, значит, ответ чуть меньше 300. 282 подходит, 2 820 — нет.
• Последняя цифра. 7 × 6 = 42 оканчивается на 2, значит, и ответ оканчивается на 2.
• Через круглое число. 68 × 7 = 70 × 7 − 2 × 7 = 490 − 14 = 476.

Прикидка ловит самую частую ошибку — сдвиг на разряд, когда ответ в 10 раз больше или меньше. Последняя цифра ловит ошибки в таблице. Вместе они закрывают почти все сбои. Привычка проверять полезна и в школе: на ОГЭ по математике калькулятором пользоваться нельзя, и прикидка там спасает от грубых промахов.

«Дети после абакуса перемножают многозначные числа мгновенно». Это не подтверждается: исследования мысленного абакуса показали, что его ёмкость ограничена^[2], а умножение требует держать несколько чисел сразу. Длинные произведения даже опытные ученики считают по шагам.

Типичные ошибки

Почти все ошибки при умножении на соробане — это не ошибки умножения, а сбой места или сложения. Их легко узнать по ответу.

Разберём последние строки. В 12 × 13 = 136 пропущен шаг 3, двадцать: 156 − 20 = 136. В 68 × 7 = 466 ребёнок взял 8 × 7 = 46 вместо 56. В 47 × 6 = 232 при прибавлении 4 к четвёрке десятков не опущена пятёрка: на спице осталось 3 вместо 8. Перемешивать типы примеров полезно: в исследовании Rohrer и Taylor смешанные задачи дали лучший итог, чем однотипные блоки. Если ошибки одного типа повторяются, тренировать нужно именно этот навык, а не умножение целиком. Трудные факты удобно отрабатывать по материалу о таблице умножения.

Когда умножение на абакусе не нужно

Не каждому ребёнку стоит учить этот приём. В четырёх ситуациях лучше выбрать другой путь.

• Таблица умножения ещё не выучена, и на 10 случайных фактов уходит больше 2 ошибок. Сначала таблица.
• Ребёнку 6–7 лет и он только осваивает сложение. Умножение подождёт до 2–3 класса.
• Школьнику 5–6 класса нужно быстро умножать в уме. Полезнее приёмы через круглые числа из статьи об умножении двузначных чисел в уме.
• Школа требует записи столбиком в 4 классе. Соробан её не заменит: письменный алгоритм входит в программу.

Чего делать нельзя

Нельзя начинать с длинных примеров: на них ошибки накапливаются, и ребёнок не понимает, где сбился. Шесть ограничений помогут сохранить интерес.

• Нельзя давать двузначное на двузначное до уверенного умножения на однозначное.
• Не следует менять раскладку от занятия к занятию: место ответа должно быть постоянным.
• Не стоит пропускать ноль впереди однозначного произведения.
• Нельзя противопоставлять соробан тетради. Показывайте, что столбик и спицы делают одно и то же.
• Не допускается подсказывать табличный факт во время примера: лучше отметить его и повторить отдельно.
• Не стоит решать больше 10 примеров за подход: внимание к месту цифр падает быстрее, чем к самому счёту.

Источники

[1] Приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 372 «Об утверждении федеральной образовательной программы начального общего образования».

[2] Frank M. C., Barner D. Representing exact number visually using mental abacus // Journal of Experimental Psychology: General. 2012. Vol. 141, № 1. P. 134–149.

[3] Hatano G., Miyake Y., Binks M. G. Performance of expert abacus operators // Cognition. 1977. Vol. 5, № 1. P. 47–55.

[4] Гальперин П. Я. Развитие исследований по формированию умственных действий // Психологическая наука в СССР. Т. 1. М., 1959.

[5] Rohrer D., Taylor K. The shuffling of mathematics problems improves learning // Instructional Science. 2007. Vol. 35, № 6. P. 481–498.

[6] Cepeda N. J., Pashler H., Vul E., Wixted J. T., Rohrer D. Distributed practice in verbal recall tasks: A review and quantitative synthesis // Psychological Bulletin. 2006. Vol. 132, № 3. P. 354–380.

Вопросы и ответы

Сколько спиц нужно для умножения?

Для примеров вроде 47 × 6 хватает 7 спиц: множитель, промежуток, множимое и три спицы под ответ. Для двузначного на двузначное удобнее 13 спиц, чтобы числа не теснились.

С какой цифры начинать — слева или справа?

На соробане обычно начинают со старшей цифры множимого. Так ответ растёт слева направо, и каждое новое произведение прибавляется к уже набранным цифрам. Главное — не менять порядок от примера к примеру.

Можно ли умножать на абакусе в уме?

Опытные ученики делают это для небольших чисел. В исследовании Hatano эксперты соробана считали в уме, опираясь на образ инструмента^[3]. Но умножение требует держать сразу несколько чисел, поэтому в уме его осваивают намного позже сложения.

Ребёнок умножает правильно, но медленно. Это нормально?

Да, первые месяцы это норма. Каждый пример состоит из нескольких фактов таблицы и сложений, и скорость приходит, когда оба навыка автоматизированы. Отслеживайте точность, а не секунды. Обзор Cepeda с коллегами показал, что короткие подходы в разные дни закрепляют навык лучше длинных занятий.

Мешает ли такой способ школьному столбику?

Не мешает, если показать связь. В столбике частичные произведения записывают строками, на абакусе — сразу складывают. Попросите ребёнка решить один пример двумя способами и найти одинаковые числа.

Что учить после умножения?

Обычно деление: оно использует те же частичные произведения, только вычитает их из делимого. Как это выглядит на спицах, разобрано в статье о делении на соробане.