Формулы «друг»: как прибавлять и отнимать с помощью десятка

Что такое формулы друга и чем они отличаются от «брата»

«Друзья» — это пары чисел, которые в сумме дают 10: 1 и 9, 2 и 8, 3 и 7, 4 и 6, 5 и 5. Формула друга заменяет действие с числом на действие с десятком и его «другом».

Главное отличие от правил через пятёрку в том, что работают две спицы. Одна спица вмещает не больше 9, поэтому сумма 8 + 5 на ней не помещается. Лишний десяток уходит влево, на спицу десятков, а на спице единиц остаётся то, что «не добрали» до десяти. Это первая встреча ребёнка с переносом в соседний разряд, и на абакусе он виден буквально: косточка появляется на другой спице.

Правил девять для сложения и девять для вычитания, потому что прибавлять и отнимать через десяток можно любое число от 1 до 9. Для сравнения: правил через пятёрку всего восемь, и все они работают внутри одной спицы. Поэтому формулы друга обычно изучают вторыми, когда ребёнок уже уверенно опускает и поднимает пятёрку.

Почему это важно не только для абакуса? В 1 классе по федеральной программе дети осваивают сложение и вычитание в пределах 20 с переходом через десяток^[1]. Счёт через десяток на абакусе — тот же переход, только выполненный руками: 8 + 5 = 8 + 2 + 3, где 2 «добивают» восьмёрку до десяти.

Формулы друга для сложения: таблица девяти правил

При сложении правило через десяток нужно, если сумма на спице получается 10 или больше. Тогда на соседней спице слева добавляют 1, а на своей убирают «друга» прибавляемого числа.

Разберём 7 + 5. На спице единиц пятёрка и две нижние косточки. Пять не помещается, потому что 7 + 5 = 12. Ребёнок говорит: «плюс пять — плюс десять, минус пять», отводит пятёрку на своей спице и поднимает одну нижнюю косточку на спице десятков. Получается 1 десяток и 2 единицы, то есть 12.

Важная оговорка: в некоторых клетках таблицы убрать «друга» на своей спице напрямую нельзя. Например, 6 + 7: нужно отнять 3 от шестёрки, а нижняя косточка там одна. Тогда вычитание тройки делают через пятёрку, и получается комбинированное правило. Таких случаев 10 при сложении — от +6 до +9 к цифрам 5–8 — и они разобраны в статье о комбинированных формулах «брат + друг».

Вычитание через десяток: заём у соседней спицы

Если на спице меньше, чем нужно отнять, у соседней спицы слева занимают десяток, а на своей добавляют «друга»: −8 = −10 +2. Это действие называют заёмом.

В таблице пять из девяти правил вычитания; остальные строятся так же: −1 = −10 +9, −3 = −10 +7, −6 = −10 +4, −7 = −10 +3. Проверка любой строки простая: добавленное на своей спице число плюс отнимаемое всегда дают 10. Например, в строке 15 − 8 добавили 2, и 2 + 8 = 10.

Как и при сложении, иногда «друга» нельзя добавить напрямую. Пример 14 − 6: занимаем десяток и должны прибавить 4 к четвёрке, а свободных нижних косточек нет. Тогда четвёрку прибавляют через пятёрку, и это снова комбинированный случай.

Перенос по цепочке и пятёрка на соседней спице

Если на соседней спице стоит 9, добавить туда единицу нельзя — перенос идёт дальше, на третью спицу. Ребёнку нужно заранее увидеть такую цепочку.

Пример 96 + 5. На спице единиц убираем пятёрку: 6 − 5 = 1. Теперь надо прибавить 1 к десяткам, а там 9. Значит, и на спице десятков работает формула друга: +1 = +10 −9. Убираем девятку, на спице сотен поднимаем единицу. Получаем 101. Проверка: 96 + 5 = 101.

Второй подвох — четвёрка на соседней спице. Пример 44 + 9: на единицах 4 − 1 = 3, затем единицу нужно добавить к четвёрке десятков, а нижние косточки там заняты. Единицу добавляют через пятёрку (+5 −4), и на десятках получается 5. Ответ 53. Ребёнок, который умеет только правила через десяток, в этом месте обычно получает 43 и не понимает почему.

С вычитанием то же самое. В примере 100 − 3 на спице десятков ноль, занимать не у кого, поэтому заём идёт у сотен: сотни 1 → 0, десятки 0 → 9, единицы 0 → 7. Получается 97. Такие примеры с нулями — лучшая проверка того, понимает ли ребёнок разряды, а не только движения.

«Перенос в соседний разряд — это отдельная сложная тема для старших». Это миф: по ФОП НОО перенос изучают уже в 1 классе, а на абакусе ребёнок 6–7 лет видит его глазами. Трудность не в возрасте, а в том, освоены ли пары до 10.

Как правило через десяток связано со школой

Это та же идея, что и школьный «переход через десяток», только с другим порядком действий. В тетради ребёнок решает 8 + 5 как 8 + 2 + 3, а на абакусе — как 8 + 10 − 5.

Оба способа дают 13, и полезно показать ребёнку, что это не два разных мира. ФГОС начального общего образования описывает предметные результаты — умение складывать и вычитать с переходом, — но не предписывает конкретный приём^[2]. Скорости такого счёта ФОП НОО тоже не задаёт, и требовать её от первоклассника не следует. Значит, способ абакуса законен, если ребёнок умеет объяснить и записать решение по-школьному. Школьный способ подробно разобран в статье о переходе через десяток.

Учителя иногда жалуются, что ребёнок «считает как-то не так». Обычно речь о том, что он называет ответ, но не может записать разложение. Решение простое: на трёх-четырёх примерах в неделю просите решить и на абакусе, и в тетради, а потом сравнить, где спрятан один и тот же десяток.

Упражнения: от одной спицы к трёхзначным числам

Отработка занимает 3–4 недели по 10 минут 4–5 раз в неделю. Начинают с пар до 10 без абакуса, заканчивают цепочками с переносом через две спицы.

Проверим пример 52 − 18 по разрядам слева направо. Десятки: 5 − 1 через пятёрку, получаем 4. Единицы: 2 − 8 не получается, занимаем десяток: десятки 4 → 3, единицы 2 + 2 = 4. Ответ 34. Пример хорош тем, что в нём встречаются оба помощника, но на разных спицах. Порядок этапов повторяет логику Гальперина: сначала предмет и громкая речь, потом действие без опоры.

Короткая самопроверка в конце занятия работает лучше, чем повторный показ правила. В исследовании Roediger и Karpicke тестирование себя закрепляло материал надёжнее, чем перечитывание^[3]. На практике это пять примеров без подсказок, после которых ребёнок сам сверяет ответы на онлайн-абакусе с режимом «Пример».

Ошибки, которые видны по ответу

Ошибка в правиле через десяток обычно даёт ответ, который отличается от верного ровно на 10. По знаку разницы понятно, какую половину действия ребёнок пропустил.

Если ошибки последнего типа повторяются, дело не в абакусе. Нужно вернуться к парам до 10 и потренировать их отдельно: на карточках, на пальцах, в игре «назови друга». После недели такой работы ошибка обычно исчезает сама.

«Если ответ верный, значит, правило применено верно». Это не подтверждается практикой: верный ответ 12 в примере 4 + 8 можно получить и пересчётом по одной косточке. Владение правилом подтверждает не ответ, а движение: одна косточка слева и две убранные справа.

Когда отработка через десяток не подходит

Правила с переносом не подходят ребёнку, у которого ещё не устоялись предыдущие шаги. В четырёх ситуациях лучше вернуться назад.

• Ребёнок ошибается в парах до 10 чаще 1 раза из 10. Без этой базы любое правило превращается в заучивание.
• Правила через пятёрку решаются с ошибками. Если в цепочке из 5 чисел есть хотя бы 1 сбой на пятёрке, переносы его только умножат.
• Ребёнок не различает единицы и десятки в числах до 20. Нужен сначала разрядный состав: 14 — это 1 десяток и 4 единицы.
• Ребёнку 4–5 лет. Действие на двух спицах сразу в этом возрасте утомляет; лучше игры с предметами.

Чего делать нельзя

Нельзя ускорять этап переноса: здесь ребёнок впервые работает с двумя разрядами сразу, и спешка ломает понимание. Шесть правил для родителей.

• Нельзя начинать с длинных примеров. Первую неделю — только однозначное плюс однозначное с ответом от 10 до 18.
• Не следует менять порядок движений от раза к разу. Выберите один: сначала своя спица, потом соседняя, — и держитесь его.
• Не стоит пропускать примеры с нулями. 100 − 3 и 96 + 5 показывают, понимает ли ребёнок разряды.
• Нельзя ругать за медленный счёт. Исследования математической тревожности показывают, что тревога занимает ресурсы рабочей памяти^[5], а именно она нужна для удержания переноса.
• Не допускается решать за ребёнка «чтобы быстрее». Лучше спросите, сколько не хватает до десяти.
• Не стоит переходить к комбинированным случаям, пока простые переносы не решаются вслух и без пауз.

Источники

[1] Приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 372 «Об утверждении федеральной образовательной программы начального общего образования».

[2] Приказ Минпросвещения России от 31.05.2021 № 286 «Об утверждении федерального государственного образовательного стандарта начального общего образования».

[3] Roediger H. L., Karpicke J. D. Test-enhanced learning: Taking memory tests improves long-term retention // Psychological Science. 2006. Vol. 17, № 3. P. 249–255.

[4] Гальперин П. Я. Развитие исследований по формированию умственных действий // Психологическая наука в СССР. Т. 1. М., 1959.

[5] Ashcraft M. H. Math anxiety: Personal, educational, and cognitive consequences // Current Directions in Psychological Science. 2002. Vol. 11, № 5. P. 181–185.

[6] Rohrer D., Taylor K. The shuffling of mathematics problems improves learning // Instructional Science. 2007. Vol. 35, № 6. P. 481–498.

Вопросы и ответы

Почему пара называется «друг», а не «брат»?

Это просто договорённость, чтобы не путать два вида пар. «Братья» дополняют число до 5 и работают на одной спице, «друзья» дополняют до 10 и всегда задействуют соседнюю. Названия помогают ребёнку быстро выбрать нужное движение.

С какой стороны делать первое движение?

Единого стандарта нет, важна последовательность. Многим детям проще сначала убрать «друга» на своей спице, а потом добавить единицу слева. Главное — не менять порядок, пока движение не стало автоматическим.

Нужно ли проговаривать правило вслух?

Да, на первых неделях обязательно. По Гальперину действие переходит во внутренний план через громкую речь, затем речь про себя^[4]. Ребёнок, который молча двигает косточки, потом с трудом переносит счёт в уме.

Ребёнок решает 8 + 5 в тетради по-другому. Это мешает?

Нет, если он понимает оба способа. Покажите, что 8 + 2 + 3 и 8 + 10 − 5 дают одно и то же. Конфликт возникает только тогда, когда ребёнок умеет двигать косточки, но не может объяснить решение словами.

Сколько примеров решать за занятие?

Достаточно 15–20 примеров за 10 минут, из них половина — на новое правило, остальные — на уже знакомые. Перемешивать старое и новое полезно: в исследовании Rohrer и Taylor смешанные задачи дали лучший итог, чем однотипные блоки.

Что делать после освоения переносов?

Переходить к случаям, где нужны оба помощника сразу, а затем к счёту без инструмента. Когда цепочки из 5 двузначных чисел решаются уверенно, можно пробовать тренажёр флеш-анзан с однозначными числами.